Funzione a due variabili definita a tratti: continuità e derivabilità (lungo una direzione)
Sto iniziando a preparare Analisi 2 e mi sono trovato davanti questo esercizio:
per prima cosa voglio dimostrare che la funzione non è continua nell'origine
quindi voglio studiare il limite nell'intorno di $ (0,0) $ e provare che non esiste
procedo per restrizioni su rette e scelgo una generica retta passante per l'origine $ y=mx $ , quindi la funzione diventa $ f = xe^(x/(mx)) = xe^(1/m) $ e ne studio il limite per $ x->0 $ che è $ 0 $.
poi scelgo come ulteriore percorso sul quale calcolare il limite la curva di equazione $ y=x^2 $ e la funzione ristretta diventa $ f=xe^(1/x) $
quindi
$ lim_(x -> 0) xe^(1/x) = lim_(x -> 0) e^(1/x)/(1/x) $
qui la prima domanda: posso usare il Teorema di De L'Hopital? le condizioni necessarie ci sono, pensavo solo che siccome non è propriamente il limite della funzione che voglio esaminare potesse esserci qualche problema. continuo con i calcoli post-De L'Hopital
$ lim_(x -> 0) (-1/x^2*e^(1/x))/(-1/x^2)=lim_(x -> 0) e^(1/x)= \infty $
e qui la seconda domanda: ho determinato due cammini per i quali il limite della restrizione è diverso, quindi il limite non esiste, giusto?
a questo punto dovrebbe essere chiara la non continuità della funzione e provo a dimostrare la derivabilità lungo tutte le direzioni in $ (0,0) $
sostituisco semplicemente i valori necessari nella definizione di derivata di $ f $ lungo una direzione generica $ vec(v)=(u,w) $ nel punto $ (0,0) $
$ lim_(t -> 0) (f(ut,wt) - f(0,0))/t=lim_(t -> 0) (ut*e^((ut)/(wt)))/t=lim_(t -> 0) ue^(u/w)=ue^(u/w) $
la traccia però mi chiedeva di provare che la funzione è derivabile nell'origine lungo tutte le direzioni, qui invece ho la seconda componente del vettore direzione al denominatore dell'esponente nell'esponenziale, il che credo sia un problema per le direzioni del tipo $ vec(v)=(u,0) $.
confermate? come posso procedere arrivato a questo punto?
scusate le molteplici domande ma ho pensato fosse meglio porle tutte in un solo post.
grazie in anticipo per le risposte che spero mi fornirete
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per prima cosa voglio dimostrare che la funzione non è continua nell'origine
quindi voglio studiare il limite nell'intorno di $ (0,0) $ e provare che non esiste
procedo per restrizioni su rette e scelgo una generica retta passante per l'origine $ y=mx $ , quindi la funzione diventa $ f = xe^(x/(mx)) = xe^(1/m) $ e ne studio il limite per $ x->0 $ che è $ 0 $.
poi scelgo come ulteriore percorso sul quale calcolare il limite la curva di equazione $ y=x^2 $ e la funzione ristretta diventa $ f=xe^(1/x) $
quindi
$ lim_(x -> 0) xe^(1/x) = lim_(x -> 0) e^(1/x)/(1/x) $
qui la prima domanda: posso usare il Teorema di De L'Hopital? le condizioni necessarie ci sono, pensavo solo che siccome non è propriamente il limite della funzione che voglio esaminare potesse esserci qualche problema. continuo con i calcoli post-De L'Hopital
$ lim_(x -> 0) (-1/x^2*e^(1/x))/(-1/x^2)=lim_(x -> 0) e^(1/x)= \infty $
e qui la seconda domanda: ho determinato due cammini per i quali il limite della restrizione è diverso, quindi il limite non esiste, giusto?
a questo punto dovrebbe essere chiara la non continuità della funzione e provo a dimostrare la derivabilità lungo tutte le direzioni in $ (0,0) $
sostituisco semplicemente i valori necessari nella definizione di derivata di $ f $ lungo una direzione generica $ vec(v)=(u,w) $ nel punto $ (0,0) $
$ lim_(t -> 0) (f(ut,wt) - f(0,0))/t=lim_(t -> 0) (ut*e^((ut)/(wt)))/t=lim_(t -> 0) ue^(u/w)=ue^(u/w) $
la traccia però mi chiedeva di provare che la funzione è derivabile nell'origine lungo tutte le direzioni, qui invece ho la seconda componente del vettore direzione al denominatore dell'esponente nell'esponenziale, il che credo sia un problema per le direzioni del tipo $ vec(v)=(u,0) $.
confermate? come posso procedere arrivato a questo punto?
scusate le molteplici domande ma ho pensato fosse meglio porle tutte in un solo post.
grazie in anticipo per le risposte che spero mi fornirete
Risposte
Per la continuità il ragionamento è corretto. C'è solo un errore di conto. In effetti,
$$xe^{1/x} \to 0 \quad \text{per } x \to 0^-$$
e
$$xe^{1/x} \to +\infty \quad \text{per } x \to 0^+$$
e, per quest'ultimo, non serve nemmeno invocare De l'Hopital perché basta ricordarsi che $e^y/y \to + \infty$ se $y \to +\infty$
In ogni caso, il risultato non cambia: la funzione non è continua perché il limite in $0$ lungo quella parabola non esiste.
Per la derivabilità, la direzione del tipo $(u,0)$ non è un problema, perché $f(ut,0)=0$ per ogni $t$, per come è definita $f$.
$$xe^{1/x} \to 0 \quad \text{per } x \to 0^-$$
e
$$xe^{1/x} \to +\infty \quad \text{per } x \to 0^+$$
e, per quest'ultimo, non serve nemmeno invocare De l'Hopital perché basta ricordarsi che $e^y/y \to + \infty$ se $y \to +\infty$
In ogni caso, il risultato non cambia: la funzione non è continua perché il limite in $0$ lungo quella parabola non esiste.
Per la derivabilità, la direzione del tipo $(u,0)$ non è un problema, perché $f(ut,0)=0$ per ogni $t$, per come è definita $f$.
Vero e vero! Grazie mille della risposta!
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