Funzione a due variabili, continuità e differenziabilità.
In una funzione
[tex]f(x,y)=\frac{xy}{y^2+|x|}[/tex] se x,y diversi da 0.
Altrimenti vale 0.
Devo studiare la continuità, esistenza delle derivate parziali prime e differenziabilità in (0,0).
La funzione è continua nel punto, ora per le derivate parziali esistono anche perchè:
[tex]f(x,0)=0,f(0,y)=0[/tex]
Quindi esistono entrambe le derivate parziali e valgono 0.
Per la differenziabilità, devo semplicemente, senza fare premesse, utilizzare la definizione no?
Calcolando il limite ho effettuto una prima restrizione a k=h con h>0 e trovato come risultato del limite [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
Mentre se considero la restrizione con h=0 e k diverso da 0 il limite risulta 0.
Quindi posso dire che la funzione non è differenziaile in quel punto?
P.S. una cosa che mi sono chiesto io e che non rientra nell'esercizio è, se dovessi studiare l'esistenza delle derivate parziali nei punti con x,y diversi da 0.
Mi devo porre problemi per quel valore assoluto al denominatore?
Credo di poter dire che la funzione sia derivabile sempre perchè sono sicuro che la x non sarà mai 0 in questo caso.
Giusto?
[tex]f(x,y)=\frac{xy}{y^2+|x|}[/tex] se x,y diversi da 0.
Altrimenti vale 0.
Devo studiare la continuità, esistenza delle derivate parziali prime e differenziabilità in (0,0).
La funzione è continua nel punto, ora per le derivate parziali esistono anche perchè:
[tex]f(x,0)=0,f(0,y)=0[/tex]
Quindi esistono entrambe le derivate parziali e valgono 0.
Per la differenziabilità, devo semplicemente, senza fare premesse, utilizzare la definizione no?
Calcolando il limite ho effettuto una prima restrizione a k=h con h>0 e trovato come risultato del limite [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
Mentre se considero la restrizione con h=0 e k diverso da 0 il limite risulta 0.
Quindi posso dire che la funzione non è differenziaile in quel punto?
P.S. una cosa che mi sono chiesto io e che non rientra nell'esercizio è, se dovessi studiare l'esistenza delle derivate parziali nei punti con x,y diversi da 0.
Mi devo porre problemi per quel valore assoluto al denominatore?
Credo di poter dire che la funzione sia derivabile sempre perchè sono sicuro che la x non sarà mai 0 in questo caso.
Giusto?
Risposte
E avrei anche questa:
[tex]\frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2+y^2}[/tex]
sempre se le variabili sono diverse da (0,0) altrimenti vale 0.
Per la continuità....per caso è vero che:
[tex]\frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2+y^2}<|xy|^{\frac{3}{2}}[/tex]
Se si allora la funzione dovrebbe essere continua.
E' derivabile in (0,0) e le derivate parziali prime pure vengono entrambe 0.
Per la differenziabilità avrei trovato una situazione simile a quella di prima, cioè non esistono due restrizioni con limite diverso, perciò la funzione non dovrebbe essere differenziabile.
[tex]\frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2+y^2}[/tex]
sempre se le variabili sono diverse da (0,0) altrimenti vale 0.
Per la continuità....per caso è vero che:
[tex]\frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2+y^2}<|xy|^{\frac{3}{2}}[/tex]
Se si allora la funzione dovrebbe essere continua.
E' derivabile in (0,0) e le derivate parziali prime pure vengono entrambe 0.
Per la differenziabilità avrei trovato una situazione simile a quella di prima, cioè non esistono due restrizioni con limite diverso, perciò la funzione non dovrebbe essere differenziabile.
"Darèios89":
Per la continuità....per caso è vero che:
[tex]\frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2+y^2}<|xy|^{\frac{3}{2}}[/tex]
Se si allora la funzione dovrebbe essere continua.
dovresti vedere subito se quella dosuguaglianza è vera o falsa, cos'è che non capisci?
No non è che non capisco...cioè io sono sicuro quando faccio le cose, però siccome a volte faccio.....ecco qui sul forum non posso scriverlo...
Allora chiedo conferma....la disuguaglianza....a me sembra vera...perchè avrei una quantità fratto qualcosa, che sarà più piccole della sola quantità...giusto?
Per quanto riguarda le altre cose?
Allora chiedo conferma....la disuguaglianza....a me sembra vera...perchè avrei una quantità fratto qualcosa, che sarà più piccole della sola quantità...giusto?
Per quanto riguarda le altre cose?
"Darèios89":
No non è che non capisco...cioè io sono sicuro quando faccio le cose, però siccome a volte faccio.....ecco qui sul forum non posso scriverlo...
Allora chiedo conferma....la disuguaglianza....a me sembra vera...perchè avrei una quantità fratto qualcosa, che sarà più piccole della sola quantità...giusto?
sì il forum è fatto per chiedere, però fai sempre gli stessi errori. e non si tratta di errori di analisi, ma del fatto che non osservi quello che scrivi.
ti faccio questa domanda: se hai due frazioni, a/b e a/c con a>0 e b>c>0, qual è la maggiore tra le due e perchè? in questo mdoo ti rispondi da solo a quello che hai chiesto.
Dovrebbe essere la seconda....a/c
Perchè più è grande il denominatore, più piccola è la quantità, quindi secondo me quello che ho sritto è corretto perchè ho una quantità fratto qualcosa, minore di una quantità, dovrebbe essere vero.
Perchè più è grande il denominatore, più piccola è la quantità, quindi secondo me quello che ho sritto è corretto perchè ho una quantità fratto qualcosa, minore di una quantità, dovrebbe essere vero.
veramente a = a/1..
Scusa se tu hai detto a/b e a/c dove b>c>0 significa che ho una cosa del tipo
[tex]\frac{1}{8}[/tex] e [tex]\frac{1}{2}[/tex]
E ovviamente è più grande la seconda.....tornando alla mia disuguaglianza....a me sembra sia vera...ma la tua insistenza mi fa sospettare di no...perchè dovrebbe essere falsa?
[tex]\frac{1}{8}[/tex] e [tex]\frac{1}{2}[/tex]
E ovviamente è più grande la seconda.....tornando alla mia disuguaglianza....a me sembra sia vera...ma la tua insistenza mi fa sospettare di no...perchè dovrebbe essere falsa?
$x^2 + y^2$ (denominatore) a cosa tende se (x,y) tende a (0,0)?
Il denominatore a 0.....ovviamente....che problema ho?
Una quantità fratto 0 minore di una quantità.
Oppure....forse vale solo l'uguaglianza? Perchè anche il numeratore tende a 0?
Una quantità fratto 0 minore di una quantità.
Oppure....forse vale solo l'uguaglianza? Perchè anche il numeratore tende a 0?
"Darèios89":
E avrei anche questa:
[tex]\frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2+y^2}[/tex]
sempre se le variabili sono diverse da (0,0) altrimenti vale 0.
in $(0,0)$ non può valere 0 la funzione, dato che il denominatore tende a zero
"Darèios89":
E avrei anche questa:
[tex]\frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2+y^2}[/tex]
sempre se le variabili sono diverse da (0,0) altrimenti vale 0.
Per la continuità....per caso è vero che:
[tex]\frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2+y^2}<|xy|^{\frac{3}{2}}[/tex]
scusami, ma non vedi che sostieni il contrario di quello che ti ho fatto dedurre dopo? qui hai lo stesso numeratore, e il denominatore del membro a sinistra è più piccolo del denominatore di quello a destra.
Ragione, non me ne sono accorto, le vedevo come due quantità generiche....cioè è come se avessi:
[tex]\frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2+y^2}\geq\frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{1}[/tex]
Giusto?
Non saprei come calcolarlo allora....
Hint:
si sa che per ogni scelta di x, y, si ha
$(x-y)^2>=0 -> x^2 + y^2 - 2xy >=0 -> xy <= (x^2 + y^2)/2$
si sa che per ogni scelta di x, y, si ha
$(x-y)^2>=0 -> x^2 + y^2 - 2xy >=0 -> xy <= (x^2 + y^2)/2$
Quindi da questa informazione sul numeratore deduco che il numeratore tende a 0 e allora l'intero limite farà 0?
Una cosa, a lezione ho visto esempi di risoluzione simili al mio, ma perchè allora anche quello non sono errati? Per esempio:
[tex]\frac{xy}{x+y}[/tex]
[tex]\frac{x}{x+y}*y\leq1*y[/tex]
Se non ricordo male era così, se si perchè così è corretto e non vale il contrario, dato che il primo termine ha un denominatore infinitesimo mentre l'altro termine ha 1?
Una cosa, a lezione ho visto esempi di risoluzione simili al mio, ma perchè allora anche quello non sono errati? Per esempio:
[tex]\frac{xy}{x+y}[/tex]
[tex]\frac{x}{x+y}*y\leq1*y[/tex]
Se non ricordo male era così, se si perchè così è corretto e non vale il contrario, dato che il primo termine ha un denominatore infinitesimo mentre l'altro termine ha 1?
Dopo una pagina e mezzo di risposte non hai ancora capito perchè la strategia che proponi non funziona... Guarda bene: tu dici che:
[tex]$\frac{|x\ y|^\frac{3}{2}}{x^2+y^2}} \leq |x\ y|^\frac{3}{2}$[/tex]
il che, per [tex]$x\neq 0\neq y$[/tex], equivale a dire che:
[tex]$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq 1$[/tex]
ossia:
(*) [tex]$\sqrt{x^2+y^2} \geq 1$[/tex].
Ma ciò è falso intorno a [tex]$o=(0,0)$[/tex]!
Infatti, visto che stai facendo il limite intorno a [tex]$o$[/tex], prima o poi dovrai andare a considerare punti [tex]$(x,y)$[/tex] che distano da [tex]$o$[/tex] meno di [tex]$1$[/tex] e ciò significa che risulterà definitivamente:
[tex]$\sqrt{x^2+y^2} <1$[/tex]
che è l'esatto opposto di (*) e conduce esattamente alla minorazione [tex]$\frac{|x\ y|^\frac{3}{2}}{x^2+y^2}} > |x\ y|^\frac{3}{2}$[/tex] opposta a quella che proponi.
L'errore dell'ultimo esercizio proposto, invece, è più subdolo.
Infatti il ragionamento funziona per [tex]$x,y>0$[/tex], giacché in tal caso [tex]$x+y>x$[/tex] e perciò [tex]$\frac{x}{x+y} <1$[/tex].
Ma non appena [tex]$x>0>y$[/tex] si ha [tex]$x+y1$[/tex], cosicché la maggiorazione non funziona più.
[tex]$\frac{|x\ y|^\frac{3}{2}}{x^2+y^2}} \leq |x\ y|^\frac{3}{2}$[/tex]
il che, per [tex]$x\neq 0\neq y$[/tex], equivale a dire che:
[tex]$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq 1$[/tex]
ossia:
(*) [tex]$\sqrt{x^2+y^2} \geq 1$[/tex].
Ma ciò è falso intorno a [tex]$o=(0,0)$[/tex]!
Infatti, visto che stai facendo il limite intorno a [tex]$o$[/tex], prima o poi dovrai andare a considerare punti [tex]$(x,y)$[/tex] che distano da [tex]$o$[/tex] meno di [tex]$1$[/tex] e ciò significa che risulterà definitivamente:
[tex]$\sqrt{x^2+y^2} <1$[/tex]
che è l'esatto opposto di (*) e conduce esattamente alla minorazione [tex]$\frac{|x\ y|^\frac{3}{2}}{x^2+y^2}} > |x\ y|^\frac{3}{2}$[/tex] opposta a quella che proponi.
L'errore dell'ultimo esercizio proposto, invece, è più subdolo.
Infatti il ragionamento funziona per [tex]$x,y>0$[/tex], giacché in tal caso [tex]$x+y>x$[/tex] e perciò [tex]$\frac{x}{x+y} <1$[/tex].
Ma non appena [tex]$x>0>y$[/tex] si ha [tex]$x+y
Allora quello che hai detto sul primo esercizio e sul fatto che non funzioni la mia maggiorazione va bene, riporto ora un caso dove abbiamo applicato un confronto del genere:
[tex]\frac{x^2y}{x^2+y^2}[/tex]
Devo determinare alfa in modo che sia continua nell'origine:
[tex]\frac{x^2}{x^2+y^2}|y|\leq|y|[/tex] per ogni (x,y) privo dell'origine.
Dunque per alfa=0 la funzione è continua.
E' simile a quello che ho sbagliato io giusto?
Ma la disuguaglianza vale perchè ho specificato per ogni coppia diversa dall'origine?
Me l'hai fatto capire tu, però allora dato che il limite che calcolo lo sto calcolando sulla funzione la cui legge ha quel valore quando il punto NON è l'origine, significherebbe che il mio confronto iniziale è corretto solo se aggiungo per ogni coppia diversa dall'origine, siccome non l'ho fatto è scorretta.
Ma quindi al posto di utilizzare l'altro metodo che è stato suggerito basta aggiungere quel dettaglio per rendere vera la mia disuguiaglianza...giusto?
[tex]\frac{x^2y}{x^2+y^2}[/tex]
Devo determinare alfa in modo che sia continua nell'origine:
[tex]\frac{x^2}{x^2+y^2}|y|\leq|y|[/tex] per ogni (x,y) privo dell'origine.
Dunque per alfa=0 la funzione è continua.
E' simile a quello che ho sbagliato io giusto?
Ma la disuguaglianza vale perchè ho specificato per ogni coppia diversa dall'origine?
Me l'hai fatto capire tu, però allora dato che il limite che calcolo lo sto calcolando sulla funzione la cui legge ha quel valore quando il punto NON è l'origine, significherebbe che il mio confronto iniziale è corretto solo se aggiungo per ogni coppia diversa dall'origine, siccome non l'ho fatto è scorretta.
Ma quindi al posto di utilizzare l'altro metodo che è stato suggerito basta aggiungere quel dettaglio per rendere vera la mia disuguiaglianza...giusto?
"Darèios89":
Me l'hai fatto capire tu, però allora dato che il limite che calcolo lo sto calcolando sulla funzione la cui legge ha quel valore quando il punto NON è l'origine, significherebbe che il mio confronto iniziale è corretto solo se aggiungo per ogni coppia diversa dall'origine, siccome non l'ho fatto è scorretta.
Ma quindi al posto di utilizzare l'altro metodo che è stato suggerito basta aggiungere quel dettaglio per rendere vera la mia disuguaglianza...giusto?
Daréios, ma li leggi i post oppure rispondi senza averli letti?
Leggendo questa parte del tuo post mi è venuto il dubbio che tu risponda totalmente a caso...
Ti ho spiegato perchè la tua strategia non funziona in entrambi i casi. Quindi rileggi con attenzione il mio post precedente.
Si una grossa cantonata, l'esatto contrario di quello che pensavo.
Cercherò di stare attento nei prossimo confronti.
Cercherò di stare attento nei prossimo confronti.
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