Funzione a due variabili con hessiano uguale a 0
[tex]x|y|(4x^2+y^2)[/tex]
Ho scritto la funzione separando i casi del valore assoluto, per y>0 ho trovato tutto quello che mi serve e risolvendo il sistema delle derivate parziali trovo come punto estremante [tex]A(0,0)[/tex] e l'hessiano viene uguale a 0.
Ora io vorrei procedere con lo studio locale, ma non ho ben capito come si fa, non è che potreste farmi vedere perchè è da un paio di giorni che non riesco a muovermi...
Ho scritto la funzione separando i casi del valore assoluto, per y>0 ho trovato tutto quello che mi serve e risolvendo il sistema delle derivate parziali trovo come punto estremante [tex]A(0,0)[/tex] e l'hessiano viene uguale a 0.
Ora io vorrei procedere con lo studio locale, ma non ho ben capito come si fa, non è che potreste farmi vedere perchè è da un paio di giorni che non riesco a muovermi...
Risposte
Se quello che hai calcolato è giusto, e l'H viene $0$, devi ragionare in qualche altro modo.
Essendo il punto pari all'origine, vediamo come si comporta una retta generica che vi passi allegramente.
Innanzitutto $f(0,0)=0$
Vediamo il comportamento nell'intorno tramite una retta (bisettrice).
$f(x,x)=x^2(5x^2)=5x^4 > 0
proviamo su un'altra retta per l'origine:
$f(x,-x)=-x^2(5x^2) <0
Quindi, non è nè di massimo, nè di minimo
Un altro metodo, lungo una retta generica.
$f(x,mx)= x^2m(4x^2+m^2x^2)= 4x^4m+m^3x^4
$f'(x,mx)=16mx^3+4m^3x^3
$f''(x,mx)=48mx^2+12m^3x^2
e così via fino a
$f^5(x,mx)=96m+24m^3$, che è positivo per $m>0$, e negativo per $m<0$, quindi, come sopra, ovviamente
Essendo il punto pari all'origine, vediamo come si comporta una retta generica che vi passi allegramente.
Innanzitutto $f(0,0)=0$
Vediamo il comportamento nell'intorno tramite una retta (bisettrice).
$f(x,x)=x^2(5x^2)=5x^4 > 0
proviamo su un'altra retta per l'origine:
$f(x,-x)=-x^2(5x^2) <0
Quindi, non è nè di massimo, nè di minimo
Un altro metodo, lungo una retta generica.
$f(x,mx)= x^2m(4x^2+m^2x^2)= 4x^4m+m^3x^4
$f'(x,mx)=16mx^3+4m^3x^3
$f''(x,mx)=48mx^2+12m^3x^2
e così via fino a
$f^5(x,mx)=96m+24m^3$, che è positivo per $m>0$, e negativo per $m<0$, quindi, come sopra, ovviamente
Ciao, grazie, praticamente, è come se considerassimo una restrizione della funzione?
E praticamente se ne troviamo due tali che una è positiva e l'altra è negativa allora è di sella?
P.S.
In questa funzione ho notato che se |y|=0 la funzione è uguale a 0, anche in questo caso devo calcolare se ci sono estremi?
ANche se verrebbe tutto 0.
P.P.S
COme faccio a capire invece se è di massimo o di minimo?
Se trovo solo rette positive sarà di massimo altrimenti di minimo?
E praticamente se ne troviamo due tali che una è positiva e l'altra è negativa allora è di sella?
P.S.
In questa funzione ho notato che se |y|=0 la funzione è uguale a 0, anche in questo caso devo calcolare se ci sono estremi?
ANche se verrebbe tutto 0.
P.P.S
COme faccio a capire invece se è di massimo o di minimo?
Se trovo solo rette positive sarà di massimo altrimenti di minimo?
"Darèios89":
Ciao, grazie, praticamente, è come se considerassimo una restrizione della funzione?
E praticamente se ne troviamo due tali che una è positiva e l'altra è negativa allora è di sella?
P.S.
In questa funzione ho notato che se |y|=0 la funzione è uguale a 0, anche in questo caso devo calcolare se ci sono estremi?
ANche se verrebbe tutto 0.
P.P.S
COme faccio a capire invece se è di massimo o di minimo?
Se trovo solo rette positive sarà di massimo altrimenti di minimo?
Se ne trovano infinite positive e infinite negative
quindi si, è di sella per quello (è in un punto intermedio diciamo).Se $y$ ed $x$ sono pari a $0$, ottieni il valore della funzione pari a $0$ (è il valore sull'asse $z$), essendo $0$ anche nei casi $y=0$ ed $x=0$, questo ti dà idea di come è fatta la funzione, cioè gli assi hanno tutti la stessa "altezza". Ma non essendo punti critici lungo quella retta (mi fido dei tuoi calcoli a riguardo
) non devi calcolare estremi.Attenzione, se uscivano solo rette positive, allora era di $MINIMO$, viceversa al contrario.
Esempio: ti usciva qualcosa tipo $(1-m)^2+x$ che in $0$ è certamente sempre positiva (quindi minimo relativo)
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