Funzione a due variabili
Ciao vorrei una mano per trovare massimi e minimi relativi di questa funzione a due variabili.
$ f(x,y)=arctan(1-yx^2 )$
Allora io mi ricavo le derivate parziali, le uguaglio a zero e le metto a sistema:
${ ( -2xy=0 ),( -x^2=0 ):} $
Quindi mi viene che per $x=0$ $ AA y in R $ e che per $ y=0$ $x=0$. Poi mi ricavo le derivate seconde parziali e miste e studio la matrice essiana nel punto critico $P(0,0) $
$H(0,0)= ( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) )
Il determinate è uguale a zero e quindi il teorema non vale.
Adesso provo a ragionare in maniera diversa.
Vado a sostituire il punto P nella funzione e ottengo che $ f(0,0)= arctan(<1> )= pi/4$
Adesso vado a vedere quando $(1-xy^2)<1$ e $(1-xy^2)>1$ e mi trovo che fissando $x != 0 $ mi viene $y>0$ nel primo caso e nel secondo $y<0$
Quindi il punto $P(0,0)$ dovrebbe esser un punto di massimo relativo.... o sbaglio??
$ f(x,y)=arctan(1-yx^2 )$
Allora io mi ricavo le derivate parziali, le uguaglio a zero e le metto a sistema:
${ ( -2xy=0 ),( -x^2=0 ):} $
Quindi mi viene che per $x=0$ $ AA y in R $ e che per $ y=0$ $x=0$. Poi mi ricavo le derivate seconde parziali e miste e studio la matrice essiana nel punto critico $P(0,0) $
$H(0,0)= ( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) )
Il determinate è uguale a zero e quindi il teorema non vale.
Adesso provo a ragionare in maniera diversa.
Vado a sostituire il punto P nella funzione e ottengo che $ f(0,0)= arctan(<1> )= pi/4$
Adesso vado a vedere quando $(1-xy^2)<1$ e $(1-xy^2)>1$ e mi trovo che fissando $x != 0 $ mi viene $y>0$ nel primo caso e nel secondo $y<0$
Quindi il punto $P(0,0)$ dovrebbe esser un punto di massimo relativo.... o sbaglio??
Risposte
Non ho seguito la seconda parte del ragionamento (adesso casomai leggo meglio), ma considera che dallo studio del sistema appare che i punti critici sono tutti quelli della forma $(0, y)$, non solo l'origine!
Le derivate non le hai calcolate bene, hai fatto solo la derivata dell'argomento.
le derivate non le ho scritte per intero in quanto il dominatore non mi serve per risolvere il sistema... trovi solo il numeratore eguagliato a zero. Comunque l'ho scritto che oltre al punto si ha anche la retta $x=0$
Hai ragione scusa, il denominatore è sempre positivo. 
Riguardo l'altra cosa, mi sembrava te li fossi scordati gli altri punti perché hai valutato l'Hessiana solo nell'origine. Viene tutta nulla anche altrove?
Ho troppa poca voglia in realtà di mettermi a fare i calcoli, mi dispiace.
Riguardo l'altra cosa, mi sembrava te li fossi scordati gli altri punti perché hai valutato l'Hessiana solo nell'origine. Viene tutta nulla anche altrove?
Ho troppa poca voglia in realtà di mettermi a fare i calcoli, mi dispiace.
Comunque la conclusione a me sembra un'altra.
Guardiamo i punti attorno all'origine:
fissato $x\ne0$, a seconda che $y$ sia positivo o negativo l'argomento è maggiore o minore di $1$, dunque la funzione in qualsiasi intorno dell'origine assume sia valori maggiori che minori di $pi/4$. Di conseguenza l'origine non può essere un massimo né un minimo ed è quindi un punto di sella.
Invece riguardo gli altri punti della retta $x=0$ la situazione è diversa e forse anche più semplice, ma devi studiare anche quelli.
Guardiamo i punti attorno all'origine:
fissato $x\ne0$, a seconda che $y$ sia positivo o negativo l'argomento è maggiore o minore di $1$, dunque la funzione in qualsiasi intorno dell'origine assume sia valori maggiori che minori di $pi/4$. Di conseguenza l'origine non può essere un massimo né un minimo ed è quindi un punto di sella.
Invece riguardo gli altri punti della retta $x=0$ la situazione è diversa e forse anche più semplice, ma devi studiare anche quelli.
grazie hai ragione...
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