Funzione a due variabili
[tex]f(xy)=\left\{\begin{matrix}
\frac{x,^2+y^4}{|x|+y^2}\\
0\end{matrix}\right.[/tex]
La prima vale se [tex](x,y)\neq (0,0)[/tex] l'altra se [tex](x,y)=(0,0)[/tex]
Mi si chiede di studiare la continuità in (x,y)=(0,0) e di calcolare le derivate parziali prime.
Ora per la continuità devo verificare che:
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }f(x,y)=f(x,y)[/tex]
Cioè [tex]\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2+y^4}{|x|+y^2}[/tex]
Non mi viene in mente come calcolarlo..........
\frac{x,^2+y^4}{|x|+y^2}\\
0\end{matrix}\right.[/tex]
La prima vale se [tex](x,y)\neq (0,0)[/tex] l'altra se [tex](x,y)=(0,0)[/tex]
Mi si chiede di studiare la continuità in (x,y)=(0,0) e di calcolare le derivate parziali prime.
Ora per la continuità devo verificare che:
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0) }f(x,y)=f(x,y)[/tex]
Cioè [tex]\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2+y^4}{|x|+y^2}[/tex]
Non mi viene in mente come calcolarlo..........
Risposte
ti correggo velocemente: la continuità c'è per definizione se [tex]\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y) = f(0,0)[/tex]
intanto ti consiglio di verificare se il valore del limite è 0 almeno per alcuni sottoinsiemi del dominio per cui (0,0) è di accumulazione (ad esempio y = mx).
poi io romperei il limite in due:
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {x^2}{|x| + y^2} + \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {y^4}{|x| + y^2}[/tex]
la funzione del primo limite è maggiorata da x^2/|x|, che tende a 0 per x che tende a 0. la seconda è maggiorata da y^4/y^2, che per y che tende a 0 va a 0. quindi la somma dei limiti va a 0
intanto ti consiglio di verificare se il valore del limite è 0 almeno per alcuni sottoinsiemi del dominio per cui (0,0) è di accumulazione (ad esempio y = mx).
poi io romperei il limite in due:
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {x^2}{|x| + y^2} + \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {y^4}{|x| + y^2}[/tex]
la funzione del primo limite è maggiorata da x^2/|x|, che tende a 0 per x che tende a 0. la seconda è maggiorata da y^4/y^2, che per y che tende a 0 va a 0. quindi la somma dei limiti va a 0
Ah......bene, ma così tu non hai considerato restrizioni del dominio....hai usato il criterio del confronto no?
Poi maggiorata da, significa che l'altra è più grande no?
Poi maggiorata da, significa che l'altra è più grande no?
di solito le restrizioni si usano per far vedere che un limite non esiste (sai che per funzioni in $RR$ un limite esiste e vale L, se e solo se lungo ogni restrizione vale L). hanno anche un altro utilizzo con i limiti in coordinate polari ma non so se l'hai fatto.
la sostituzione più gettonata è quella che ti ho scritto sopra, se provi a sostituire vedi che il risultato torna. può usare anche la parabola, o il seno, o qualunque altra funzione a tua scelta.
se vuoi, quello che fai è un confronto con una funzione di cui conosci il limite, o che puoi trovare in modo banale (ma serve esercizio, non basarti semplicemente su quello che ti dico).
diciamo che f è maggiorata da g se $ g >= f $
la sostituzione più gettonata è quella che ti ho scritto sopra, se provi a sostituire vedi che il risultato torna. può usare anche la parabola, o il seno, o qualunque altra funzione a tua scelta.
se vuoi, quello che fai è un confronto con una funzione di cui conosci il limite, o che puoi trovare in modo banale (ma serve esercizio, non basarti semplicemente su quello che ti dico).
diciamo che f è maggiorata da g se $ g >= f $
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