Funzione a due variabili
Ciao, mi servirebbe un consiglio su questo esercizio.
Discutere la natura dei punti critici della funzione $f(x,y)=3x^2-y^2+3xy$ quindi determinare estremo superiore ed inferiore sul dominio $D={x^2+y^2<=1, x>=y-1}$.
Le derivate parziali della funzione sono rispettivamente $6x+3y$ e $-2y+3x$, mettendole a sistema vado a vedere dove si annullano, trovando un punto critico in $(0,0)$. Mi costruisco l'Hessiano e ne studio il determinante nel punto sopra trovato, scoprendo che in $(0,0)$ ho un punto di sella.
Passo ora allo studio sul vincolo che divido in due punti A e B.
A Va da $(-1,0)$ a $(0,1)$ sulla retta $x=y-1$. Vado in cerca di punti del tipo $(y-1,y)$ con $y€[0,1]$. Calcolo quindi la funzione in questi punti ne faccio la derivata prima e trovo che si annulla per $y=9/10$. Passo quindi allo studio su questo punto e agli estremi del vincolo ottenendo:
-$f(-1/10,9/10)=21/20$
-$f(-1,0)=3$
-$f(0,1)=-1$
Fino a qui tutto corretto?
B Va da $(0,1)$ a$(-1,0)$ sulla circonferenza $x^2+y^2=1$. In che modo mi consigliate di procedere? Esplicitando una variabile ottengo calcoli abbastanza complessi e lo stesso mi pare utilizzando i moltiplicatori di Lagrange. Ho provato anche un cambio di coordinate ma mi blocco...
Grazie!
Discutere la natura dei punti critici della funzione $f(x,y)=3x^2-y^2+3xy$ quindi determinare estremo superiore ed inferiore sul dominio $D={x^2+y^2<=1, x>=y-1}$.
Le derivate parziali della funzione sono rispettivamente $6x+3y$ e $-2y+3x$, mettendole a sistema vado a vedere dove si annullano, trovando un punto critico in $(0,0)$. Mi costruisco l'Hessiano e ne studio il determinante nel punto sopra trovato, scoprendo che in $(0,0)$ ho un punto di sella.
Passo ora allo studio sul vincolo che divido in due punti A e B.
A Va da $(-1,0)$ a $(0,1)$ sulla retta $x=y-1$. Vado in cerca di punti del tipo $(y-1,y)$ con $y€[0,1]$. Calcolo quindi la funzione in questi punti ne faccio la derivata prima e trovo che si annulla per $y=9/10$. Passo quindi allo studio su questo punto e agli estremi del vincolo ottenendo:
-$f(-1/10,9/10)=21/20$
-$f(-1,0)=3$
-$f(0,1)=-1$
Fino a qui tutto corretto?
B Va da $(0,1)$ a$(-1,0)$ sulla circonferenza $x^2+y^2=1$. In che modo mi consigliate di procedere? Esplicitando una variabile ottengo calcoli abbastanza complessi e lo stesso mi pare utilizzando i moltiplicatori di Lagrange. Ho provato anche un cambio di coordinate ma mi blocco...
Grazie!
Risposte
Per risolvere l'intero esercizio potresti utilizzare i moltiplicatori di Kuhn-Tucker (i quali sono un'espansione dei moltiplicatori di Lagrange).....ti inserisco qui il link......leggi da pag.11 in poi!
http://www.iac.rm.cnr.it/~briani/luiss/LezioneXII05.pdf
Ciao
Alexp
http://www.iac.rm.cnr.it/~briani/luiss/LezioneXII05.pdf
Ciao
Alexp
I moltiplicatori di Kuhn-Tucker purtroppo non ti semplificano i calcoli 
.......però spero di averti mostrato qualcosa di nuovo qualora non conoscessi questo metodo!
Alexp
.......però spero di averti mostrato qualcosa di nuovo qualora non conoscessi questo metodo!Alexp
"Alexp":
I moltiplicatori di Kuhn-Tucker purtroppo non ti semplificano i calcoli
Alexp
Uffa!! Si è nuovo, nel corso non li avevo affrontati e non ne avevo mai sentito parlare... Mi serviranno in qualche altro caso 
!!Qualche idea?
Prova a vedere se così è fattibile:
-Essendo una "parte" di circonferenza è esprimibile (parametrizzandola) come una funzione di una sola variabile, cioè:
Circonferenza è esprimibile: $x=cos(teta), y=sin(teta)$, ora sostituendo questo nella superficie otterrai una funzione di $teta$ limitata nel seguente modo $-pi<=teta<=pi/2$ ossia i punti (-1,0) e (0,1).....ora essendo espressa come funzione di una variabile non dovresti avere problemi
-Essendo una "parte" di circonferenza è esprimibile (parametrizzandola) come una funzione di una sola variabile, cioè:
Circonferenza è esprimibile: $x=cos(teta), y=sin(teta)$, ora sostituendo questo nella superficie otterrai una funzione di $teta$ limitata nel seguente modo $-pi<=teta<=pi/2$ ossia i punti (-1,0) e (0,1).....ora essendo espressa come funzione di una variabile non dovresti avere problemi
Ciao Enigmagame,
io al momento sono impossibilitato ad eseguire il tuo esercizio, perchè sono al lavoro, ma fammi sapere se il mio consiglio ti è servito o se ancora qualcosa non va!
Alexp
io al momento sono impossibilitato ad eseguire il tuo esercizio, perchè sono al lavoro, ma fammi sapere se il mio consiglio ti è servito o se ancora qualcosa non va!
Alexp
Dunque... vediamo un pò...
come hai detto tu posso parametrizzare la circonferenza in questo modo: ${(x=cos(theta)),(y=sin(theta)):}$. Devo quindi sostituire queste nelle mia funzione principale ottenendo: $f(cos(theta),sin(theta))=3cos^2(theta)-sin^2(theta)+3cos(theta)sin(theta)$ con $theta€[-pi,pi/2]$.
Devo quindi trovarmi la derivata prima e vedere dove si annulla? La derivata prima è $6cos^2(theta)-8sin(theta)cos(theta)-3$.
E' corretto oppure ho sbagliato?
come hai detto tu posso parametrizzare la circonferenza in questo modo: ${(x=cos(theta)),(y=sin(theta)):}$. Devo quindi sostituire queste nelle mia funzione principale ottenendo: $f(cos(theta),sin(theta))=3cos^2(theta)-sin^2(theta)+3cos(theta)sin(theta)$ con $theta€[-pi,pi/2]$.
Devo quindi trovarmi la derivata prima e vedere dove si annulla? La derivata prima è $6cos^2(theta)-8sin(theta)cos(theta)-3$.
E' corretto oppure ho sbagliato?
I calcoli non li ho fatti....prova a vedere ora se esiste un valore di $teta$ per il quale si annulla la derivata prima e poi ricava il valore della funzione $3cos^2(theta)-sin^2(theta)+3cos(theta)sin(theta)$ in -pi e poi in pi/2.
Mi sa che hai calcolato male la derivata.....a me risulta $-8cos(teta)sin(teta)-3sin^2(teta)+3cos^2(teta)$
"Alexp":
Mi sa che hai calcolato male la derivata.....a me risulta $-8cos(teta)sin(teta)-3sin^2(teta)+3cos^2(teta)$
Effettivamente viene anche a me cosi... a mano! E' il Derive che mi dava il risoltato sopra
!Ed ecco il punto in cui mi bloccavo (dal post originale)... trovare dove si annulla...
Prova così....uguagliamo la nostra derivata a zero, ossia....$-8cos(teta)sin(teta)-3sin^2(teta)+3cos^2(teta)=0$ ora dividendo entrambi i membri per $3cos^2(teta)$ otteniamo:
$-tg^2(teta)-8/3tg(teta)+1=0$ ora se al posto di $tg(teta)$ sostituiamo $k$ otteniamo:
$-k^2-(8/3)k+1=0$ che è un'equazione di secondo grado......trovati i valori di $k$ calcoliamo $arctg(k)$ trovando cosi il valore di $teta$....prova a vedere se è corretto!
Alexp
$-tg^2(teta)-8/3tg(teta)+1=0$ ora se al posto di $tg(teta)$ sostituiamo $k$ otteniamo:
$-k^2-(8/3)k+1=0$ che è un'equazione di secondo grado......trovati i valori di $k$ calcoliamo $arctg(k)$ trovando cosi il valore di $teta$....prova a vedere se è corretto!
Alexp
Scrivo cosi l'equazione di secondo grado che devo risolvere $3k^2+8k-3=0$ che ha due radici, $k1=-3$ e $k2=1/3$.
Quindi i valori di $theta$ sono rispoettivamente $-71.6$ e $18.4$. Giusto?
Quindi i valori di $theta$ sono rispoettivamente $-71.6$ e $18.4$. Giusto?
....Non ho modo di calcolarli....non ho qui una calcolatrice....prova a vedere se annullano la derivata prima.....poi fammi sapere!
Si, i valori trovati di $theta$ annullano la derivata prima... Non avevo proprio pensato a questa via... 
Ora vediamo di tirare le somme dell'esercizio... non mi resta che calcolare il valore di $f(cos(theta),sin(theta)$ nei punti appena trovati e agli estremi.
Abbiamo quindi:
-$f(cos(-71.6),sin(-71.6))=f(0.3,-0.9)=0.27$
-$f(cos(18.4),sin(18.4))=f(0.9,0.3)=3.33$
-$f(cos(-pi),sin(-pi))=f(-1,0)=3$
-$f(cos(pi/2),sin(pi/2))=f(0,1)=-1$
Concludendo ho l'estremo superiore nel punto $(0.9,0.3)$ e l'estremo inferiore nel punto $(0,1)$.
Spero sia tutto corretto...
Ora vediamo di tirare le somme dell'esercizio... non mi resta che calcolare il valore di $f(cos(theta),sin(theta)$ nei punti appena trovati e agli estremi.
Abbiamo quindi:
-$f(cos(-71.6),sin(-71.6))=f(0.3,-0.9)=0.27$
-$f(cos(18.4),sin(18.4))=f(0.9,0.3)=3.33$
-$f(cos(-pi),sin(-pi))=f(-1,0)=3$
-$f(cos(pi/2),sin(pi/2))=f(0,1)=-1$
Concludendo ho l'estremo superiore nel punto $(0.9,0.3)$ e l'estremo inferiore nel punto $(0,1)$.
Spero sia tutto corretto...
......Incrociamo le dita!!!!!! fammi sapere! 
Bisognerebbe provare con un programma grafico e vedere se in quei punti corrispondono gli estremi!
Ciao
Alexp
Bisognerebbe provare con un programma grafico e vedere se in quei punti corrispondono gli estremi!
Ciao
Alexp
"Alexp":
Bisognerebbe provare con un programma grafico e vedere se in quei punti corrispondono gli estremi!
Purtroppo non ne ho uno a disposizione... o meglio se il Derive è in grado di farlo io non lo so usare
!!!Vediamo se qualcuno che può e ha voglia conferma i risultati...
Comunque grazie mille di tutto... ho imparato dei nuovi trucchetti...!!
!!!!
Ciao Enigmagame,
stavo pensando...nei risultati trovati per $teta$ bisogna anche includere nella ricerca i valori delle direzioni opposte ossia: $teta1=-71.6$, $teta2=18.4$, $teta3=(-71,6+180)$ e $teta4=(18,4+180)$.....nel nostro caso $teta3$ viene scartata perchè si trova nel settore di piano non considerato! vedrai che anche $teta4$ manda a zero la derivata prima......quindi devi includere anche questo punto nello studio.....poi come controprova una volta individuati i punti degli estremi (espressi nelle coordinate $x,y$) puoi costruire il sistema dei moltiplicatori di Lagrange e vedere se il sistema è soddisfatto in quei punti....
fammi sapere!
Alexp
P.S: nel punto (0,3;-0,9) la funzione non fa 0,27, ma dovrebbe fare -1,35 circa
Se sostituisci nel sistema dei moltiplicatori di Lagrange questi valori x,y ricavati da teta, tieni conto che sono approssimati.
stavo pensando...nei risultati trovati per $teta$ bisogna anche includere nella ricerca i valori delle direzioni opposte ossia: $teta1=-71.6$, $teta2=18.4$, $teta3=(-71,6+180)$ e $teta4=(18,4+180)$.....nel nostro caso $teta3$ viene scartata perchè si trova nel settore di piano non considerato! vedrai che anche $teta4$ manda a zero la derivata prima......quindi devi includere anche questo punto nello studio.....poi come controprova una volta individuati i punti degli estremi (espressi nelle coordinate $x,y$) puoi costruire il sistema dei moltiplicatori di Lagrange e vedere se il sistema è soddisfatto in quei punti....
fammi sapere!
Alexp
P.S: nel punto (0,3;-0,9) la funzione non fa 0,27, ma dovrebbe fare -1,35 circa
Se sostituisci nel sistema dei moltiplicatori di Lagrange questi valori x,y ricavati da teta, tieni conto che sono approssimati.
Ciao......I punti di max dovrebbero essere due in cui la funz. ammette lo stesso valore, ossia per $teta=18,4$ e $teta=18,4+180$, mentre di min dovrebbe essere uno solo per $teta=-71,6$.
Alexp
Alexp
Ciao, do una ricontrollata al tutto e poi ti faccio sapere...
Ciao...
Ho alcuni dubbi, perchè nella ricerca devo includere anche i punti nelle direzioni opposte? E perchè il minimo è in $theta=-71.6$ quanto la quota più bassa è agli estremi?
Ho alcuni dubbi, perchè nella ricerca devo includere anche i punti nelle direzioni opposte? E perchè il minimo è in $theta=-71.6$ quanto la quota più bassa è agli estremi?
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