Funzione a due variabili
Salve,
sto provando a risolvere il seguente esercizio, che chiede di determinare massimi e minimi della funzione
$f(x,y)=|x-y|(x+y)$
Ho calcolato le derivate parziali
$f_{x}=\frac{2x|x-y|}{x-y}$
$f_{y}=\frac{-2y|x-y|}{x-y}$
Le soluzioni le ho cercate, sotto la condizione che $y\ne x$. Quindi, non ho trovato punti che andassero bene. A questo punto, mi sono concentrato sui punti che annullano il valore assoluto, che sono del tipo $P(x_{0},x_{0})$. Per capirne la natura, ho usato il metodo dei segni.
La funzione è positiva se $y> -x$. Quindi, in tali punti $f(x,y)>f(x_{0},x_{0})$. Di conseguenza abbiamo un minimo, con $x_{0}>0$.
La funzione è negativa se $y<-x$. Quindi $f(x,y)
Vorrei sapere se i miei ragionamenti sono corretti, è un po' di tempo che non faccio queste cosette e vorrei la vostra opinione.
Grazie.
sto provando a risolvere il seguente esercizio, che chiede di determinare massimi e minimi della funzione
$f(x,y)=|x-y|(x+y)$
Ho calcolato le derivate parziali
$f_{x}=\frac{2x|x-y|}{x-y}$
$f_{y}=\frac{-2y|x-y|}{x-y}$
Le soluzioni le ho cercate, sotto la condizione che $y\ne x$. Quindi, non ho trovato punti che andassero bene. A questo punto, mi sono concentrato sui punti che annullano il valore assoluto, che sono del tipo $P(x_{0},x_{0})$. Per capirne la natura, ho usato il metodo dei segni.
La funzione è positiva se $y> -x$. Quindi, in tali punti $f(x,y)>f(x_{0},x_{0})$. Di conseguenza abbiamo un minimo, con $x_{0}>0$.
La funzione è negativa se $y<-x$. Quindi $f(x,y)
Vorrei sapere se i miei ragionamenti sono corretti, è un po' di tempo che non faccio queste cosette e vorrei la vostra opinione.
Grazie.
Risposte
"olaxgabry":
Salve,
sto provando a risolvere il seguente esercizio, che chiede di determinare massimi e minimi della funzione
$f(x,y)=|x-y|(x+y)$
Ho calcolato le derivate parziali
$f_{x}=\frac{2x|x-y|}{x-y}$
$f_{y}=\frac{-2y|x-y|}{x-y}$
Le soluzioni le ho cercate, sotto la condizione che $y\ne x$.
Lungo la bisettrice di I e III quadrante la funzione esiste, vale 0, è continua, ma si forma uno "spigolo".
Provando a restringerci agli assi (penso che siano le direzioni lungo le quali la nostra funzione aumenta o diminuisce più "rapidamente") possiamo notare che lungo l'asse delle ascisse va a $+oo$ dal semiasse positivo, a $-oo$ dall'altra parte, per le ordinate lo stesso. L'unico punto che annulla le derivate parziali è l'origine, dove abbiamo visto che abbiamo i punti che formano lo "spigolo".
Per quanto riguarda le curve di livello direi che sono delle iperboli equilatere.
Concludendo direi che non trovo punti critici, ma punti di non derivabilità lungo la bisettrice di I e III quadrante e che il valore della funzione varia tra $-oo$ e $+oo$. Do you agree?
Ciao,
prima di tutto grazie per la risposta. La funzione varia tra $-\infty$ e $+\infty$, non ci sono quindi massimi e minimi assoluti.
Se prendo i punti sulla bisettrice del primo e terzo quadrante, ho notato questo. Consideriamo, ad esempio, il punto $P(1,1)$. La funzione f(x,y), in un intorno del punto P, è maggiore di zero in quanto $y> -x$. Di conseguenza f(x,y)>f(1,1)=0, quindi in tale punto ho un minimo relativo. Lo stesso discorso dovrebbe valere per tutti i punti del tipo $P(x_{0},x_{0})$, con $x_{0}>0$.
In modo analogo, ho preso il punto $P(-1,-1)$. In un intorno del punto, abbiamo che $f(x,y)<0$ perché stiamo lavorando sulla parte di piano dove $y<-x$. Quindi $f(x,y)
prima di tutto grazie per la risposta. La funzione varia tra $-\infty$ e $+\infty$, non ci sono quindi massimi e minimi assoluti.
Se prendo i punti sulla bisettrice del primo e terzo quadrante, ho notato questo. Consideriamo, ad esempio, il punto $P(1,1)$. La funzione f(x,y), in un intorno del punto P, è maggiore di zero in quanto $y> -x$. Di conseguenza f(x,y)>f(1,1)=0, quindi in tale punto ho un minimo relativo. Lo stesso discorso dovrebbe valere per tutti i punti del tipo $P(x_{0},x_{0})$, con $x_{0}>0$.
In modo analogo, ho preso il punto $P(-1,-1)$. In un intorno del punto, abbiamo che $f(x,y)<0$ perché stiamo lavorando sulla parte di piano dove $y<-x$. Quindi $f(x,y)
I agree, anyway lungo la bisettrice non esiste un piano che approssimi la nostra funzione, does it?
Sì, concordo. Quindi in conclusione ho infiniti punti di massimo e minimo relativo, che si trovano sulla retta $y=x$. Discorso a parte per l'origine, il quale non è massimo o minimo.
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