Funzione a derivata costante in n punti
Salve a tutti; desideravo porvi questo quesito:
avendo una funzione da R in R derivabile, con f'(x) >=0 per ogni punto di x appartenete al dominio; supponendo che la derivata si annulli solo in x=1,2,3, allora:
-f è non decrescente ma non strettamente crescente
-f ha almeno un punto di minimo e un punto di massimo
-f è strettamente crescente
-f non è integrabile in senso generalizzato in [0,+∞)
La funzione che ho ipotizzato è strettamente crescente e si comporta nei punti "critici" in questione come x^3 in 0, ovvero in modo che la sua derivata nel punto corrisponda ad una retta parallela all'asse delle ascisse (con coefficiente angolare quindi nullo).
In questo modo, scartando la prima opzione, che non ha senso, e la seconda, in quanto la funzione può benissimo essere strettamente monotona in tutto il suo codominio, rimangono la 3 e la 4 come affermazioni possibili.
Effettivamente se si osserva la funzione si può vedere che f in [0,+∞) non sia integrabile in senso generalizzato, in quanto può maggiorare una funzione nota che anch'essa non è integrabile (in senso generalizzato) in tale intervallo, prendiamo ad esempio Log(x).
Ma non capisco come si possa affermare che la funzione in questione non sia strettamente crescente, se la derivata si annulla in quegli unici punti, senza comunque che la funzione stessa sia in alcun intervallo del dominio costante.
Vi ringrazio in anticipo.
Distinti saluti
avendo una funzione da R in R derivabile, con f'(x) >=0 per ogni punto di x appartenete al dominio; supponendo che la derivata si annulli solo in x=1,2,3, allora:
-f è non decrescente ma non strettamente crescente
-f ha almeno un punto di minimo e un punto di massimo
-f è strettamente crescente
-f non è integrabile in senso generalizzato in [0,+∞)
La funzione che ho ipotizzato è strettamente crescente e si comporta nei punti "critici" in questione come x^3 in 0, ovvero in modo che la sua derivata nel punto corrisponda ad una retta parallela all'asse delle ascisse (con coefficiente angolare quindi nullo).
In questo modo, scartando la prima opzione, che non ha senso, e la seconda, in quanto la funzione può benissimo essere strettamente monotona in tutto il suo codominio, rimangono la 3 e la 4 come affermazioni possibili.
Effettivamente se si osserva la funzione si può vedere che f in [0,+∞) non sia integrabile in senso generalizzato, in quanto può maggiorare una funzione nota che anch'essa non è integrabile (in senso generalizzato) in tale intervallo, prendiamo ad esempio Log(x).
Ma non capisco come si possa affermare che la funzione in questione non sia strettamente crescente, se la derivata si annulla in quegli unici punti, senza comunque che la funzione stessa sia in alcun intervallo del dominio costante.
Vi ringrazio in anticipo.
Distinti saluti
Risposte
Secondo me è la 3.
Si, anche io credevo questo....
La ringrazio
La ringrazio
Dammi del tu, su questo forum si usa così.
Confermo quando detto da dissonance.
Nelle ipotesi date (\(f\) derivabile in \(\mathbb{R}\) e \(f'(x)\geq 0\)) si ha che \(f\) è strettamente monotona crescente se e solo se \(f'\) non è identicamente nulla su alcun intervallo non banale.
(Se non ricordo male c'è un post di qualche giorno fa sull'argomento.)
Nelle ipotesi date (\(f\) derivabile in \(\mathbb{R}\) e \(f'(x)\geq 0\)) si ha che \(f\) è strettamente monotona crescente se e solo se \(f'\) non è identicamente nulla su alcun intervallo non banale.
(Se non ricordo male c'è un post di qualche giorno fa sull'argomento.)
visto che sembra che il tuo dubbio sia tra la 3 e la 4, fai attenzione: non dice che la funzione sia positiva.
non sto a farti tutti i raccordi per far tornare bene le derivate, ma ti do l'idea di un esempio: se la funzione fosse limitata in \([0,4]\) e in \((4,+\infty)\) fosse uguale a \(\displaystyle-\frac1{x^2}\) sarebbe integrabile in senso generalizzato in \([0,+\infty)\).
non sto a farti tutti i raccordi per far tornare bene le derivate, ma ti do l'idea di un esempio: se la funzione fosse limitata in \([0,4]\) e in \((4,+\infty)\) fosse uguale a \(\displaystyle-\frac1{x^2}\) sarebbe integrabile in senso generalizzato in \([0,+\infty)\).
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