Funzione a 2 variabili con autovalori
Salve a tutti, ho questa funzione :
$ f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)^2 $ di cui riesco a determinare i punti critici $ O-= (0,0) $ $ A-= (sqrt2,-sqrt2) $ $ B-= (-sqrt2,sqrt2) $
Utilizzando la matrice Hessiana posso dire che nel punto $A$ e $B$ la funzione assume valore di minimo relativo, mentre nel punto $O$ non posso dire niente perchè il determinante dell'hessiana, calcolata nel punto, è zero.
Se introduco gli autovalori ottengo:
$ detH=| ( -4-lambda , 4 ),( 4 , -4-lambda ) | =lambda^2+8lambda+12 $
Posto $lambda^2+8lambda+12 =0$ ottengo i valori di $ { ( lambda_1=-6 ),( lambda_2=-2 ):} $ .
Posso dire che essendo i valori di $lambda$ minori di zero, il punto $O$ sarà di sella?
$ f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)^2 $ di cui riesco a determinare i punti critici $ O-= (0,0) $ $ A-= (sqrt2,-sqrt2) $ $ B-= (-sqrt2,sqrt2) $
Utilizzando la matrice Hessiana posso dire che nel punto $A$ e $B$ la funzione assume valore di minimo relativo, mentre nel punto $O$ non posso dire niente perchè il determinante dell'hessiana, calcolata nel punto, è zero.
Se introduco gli autovalori ottengo:
$ detH=| ( -4-lambda , 4 ),( 4 , -4-lambda ) | =lambda^2+8lambda+12 $
Posto $lambda^2+8lambda+12 =0$ ottengo i valori di $ { ( lambda_1=-6 ),( lambda_2=-2 ):} $ .
Posso dire che essendo i valori di $lambda$ minori di zero, il punto $O$ sarà di sella?
Risposte
Fossi in te, mi porrei un altro problema... Come fanno a venire due autovalori diversi da zero se il determinante è nullo? 
Ciao jack_queen, ciao gugo,
propongo un modo alternativo di vedere la questione, ditemi se è accettabile
dunque abbiamo la funzione in due variabili
$f(x;y)=x^4+y^4-2(x-y)^2$
se avessimo solo i termini di quarto grado allora avremmo a che fare con un paraboloide con il vertice nell'origine e la concavità rivolta verso l'alto, ma noi a quel grafico dobbiamo sottrarre la quantità $2(x-y)^2$ sicché la nostra superficie si deforma un po', vediamo come. Evidentemente lungo la retta $y=x$ le cose non cambiano perché la quantità da sottrarre si annulla, mentre lungo tutte le altre direzione qualcosa bisogna togliere, la domanda è: lungo quale direzione la quantità da sottrarre è massima? Direi quando $y=-x$. E' opportuno vedere cosa succede alla nostra funzione lungo tale direzione, pertanto studiamo
$f(x;-x)=2x^4-8x^2$
Vediamo che abbiamo due minimi in corrispondenza di $x=-sqrt2$ e $x=sqrt2$ e un massimo in $x=0$, ricordandoci che ci stiamo muovendo lungo la bisettrice di II e IV quadrante $y=-x$, i punti di minimo avranno coordinate $A(-sqrt2;+sqrt2)$ e $B(+sqrt2; -sqrt2)$ mentre il punto di massimo sarà l'origine $O(0;0)$, in accordo con quanto hai trovato tu.
Visto che l'origine ci "puzza" un po' proviamo a prendere in considerazione un'altra direzione e vediamo se siamo fortunati e otteniamo un punto di minimo invece che di massimo così da concludere che l'origine non sia né un massimo né un minimo. Punterei su $y=x$ e studierei
$f(x;x)=2x^4$
mi accorgo subito che lungo questa direzione l'origine è un minimo e concludo
l'origine non è né un massimo né un minimo
propongo un modo alternativo di vedere la questione, ditemi se è accettabile
dunque abbiamo la funzione in due variabili
$f(x;y)=x^4+y^4-2(x-y)^2$
se avessimo solo i termini di quarto grado allora avremmo a che fare con un paraboloide con il vertice nell'origine e la concavità rivolta verso l'alto, ma noi a quel grafico dobbiamo sottrarre la quantità $2(x-y)^2$ sicché la nostra superficie si deforma un po', vediamo come. Evidentemente lungo la retta $y=x$ le cose non cambiano perché la quantità da sottrarre si annulla, mentre lungo tutte le altre direzione qualcosa bisogna togliere, la domanda è: lungo quale direzione la quantità da sottrarre è massima? Direi quando $y=-x$. E' opportuno vedere cosa succede alla nostra funzione lungo tale direzione, pertanto studiamo
$f(x;-x)=2x^4-8x^2$
Vediamo che abbiamo due minimi in corrispondenza di $x=-sqrt2$ e $x=sqrt2$ e un massimo in $x=0$, ricordandoci che ci stiamo muovendo lungo la bisettrice di II e IV quadrante $y=-x$, i punti di minimo avranno coordinate $A(-sqrt2;+sqrt2)$ e $B(+sqrt2; -sqrt2)$ mentre il punto di massimo sarà l'origine $O(0;0)$, in accordo con quanto hai trovato tu.
Visto che l'origine ci "puzza" un po' proviamo a prendere in considerazione un'altra direzione e vediamo se siamo fortunati e otteniamo un punto di minimo invece che di massimo così da concludere che l'origine non sia né un massimo né un minimo. Punterei su $y=x$ e studierei
$f(x;x)=2x^4$
mi accorgo subito che lungo questa direzione l'origine è un minimo e concludo
l'origine non è né un massimo né un minimo
"jack_queen":
$ detH=| ( -4-lambda , 4 ),( 4 , -4-lambda ) | =lambda^2+8lambda+12 $
$det(H)= (-4-\lambda)^2-16=16+\lambda^2+8\lambda-16=\lambda (\lambda+8)$
Obviuosly qualcuno mi corregga se ho preso una cantonata!
"gio73":
propongo un modo alternativo di vedere la questione, ditemi se è accettabile
Mi piacciono i metodi alternativi, specie quando si studia la funzione in 2 direzioni diverse. Avevo proposto una cosa del genere recentemente (per confermare un limite) proprio a jack_queen se non ricordo male.
Per me è ok.
Chiedo venia...non mi sono completamente accorto dell'"erroraccio" generato dalla mia distrazione (distruzione).
Il metodo gio73 lo conoscevo (grazie a zero87) ma ho dei piccoli dubbi da risolvere; per esempio:
se studiata la funzione lungo la restrizione delle rette bisettrici $y=x$ e $y=-x$ mi trovo (studiata la funzione ad una variabile) che il punto critico è di minimo, e se poi la funzione ristretta lungo gli assi (studiata sempre la funzione ad una sola variabile) mi da un punto di massimo, posso concludere che il punto è di sella?
Il metodo gio73 lo conoscevo (grazie a zero87) ma ho dei piccoli dubbi da risolvere; per esempio:
se studiata la funzione lungo la restrizione delle rette bisettrici $y=x$ e $y=-x$ mi trovo (studiata la funzione ad una variabile) che il punto critico è di minimo, e se poi la funzione ristretta lungo gli assi (studiata sempre la funzione ad una sola variabile) mi da un punto di massimo, posso concludere che il punto è di sella?
"jack_queen":
Il metodo gio73 lo conoscevo (grazie a zero87) ma ho dei piccoli dubbi da risolvere
Di nulla, ma mi sembra strano perché anche se in analisi II non lo incentivano, so che comunque lo spiegano quello di calcolare il limite/la funzione in due direzioni differenti.
"jack_queen":
se studiata la funzione lungo la restrizione delle rette bisettrici $y=x$ e $y=-x$ mi trovo (studiata la funzione ad una variabile) che il punto critico è di minimo, e se poi la funzione ristretta lungo gli assi (studiata sempre la funzione ad una sola variabile) mi da un punto di massimo, posso concludere che il punto è di sella?
Sì, ricordo che basta una sola direzione in cui il limite è differente da un altro/altri limite/i trovato/i in un'altra/altre direzione/i.
Anzi, aggiungo questa.
Se la mia memoria non sfarfalla (probabile in questo periodo), l'elementi di analisi matematica II di Marcellini-Sbordone-Fusco, per quanto non sia molto consigliato (parlo di "elementi di"), quando si tratta di limiti dice di sostituire $y=mx$ e calcolare il limite con $f(x,mx)$. Alla fine, però aggiunge anche che bisogna considerare la direzione che manca, cioè quella che vede $m=\infty$ ovvero la retta $x=x_0$.
Temo che il metodo delle restrizioni serva più a dire cosa non è un punto critico.
In generale credo che la locuzione "Il punto critico $P(x_P;y_P)$ non è un massimo né un minimo" sia migliore rispetto a
"Il punto critico $P(x_P;y_P)$ è un punto di sella".
In generale credo che la locuzione "Il punto critico $P(x_P;y_P)$ non è un massimo né un minimo" sia migliore rispetto a
"Il punto critico $P(x_P;y_P)$ è un punto di sella".
"gio73":
Temo che il metodo delle restrizioni serva più a dire cosa non è un punto critico.
"gio73":
In generale credo che la locuzione "Il punto critico $P(x_P;y_P)$ non è un massimo né un minimo" sia migliore rispetto a
"Il punto critico $P(x_P;y_P)$ è un punto di sella".
Giusto, anche se ricordo che negli appunti - o nel già citato elementi di ... - c'era scritto (circa) che "dicasi un punto di sella un punto che non è né di massimo né di minimo".
Beh grazie mille intanto per le risposte, e a mio malgrado devo dire che l'analisi II che viene introdotta da alcuni insegnanti universitari non spesso ricopre le più banali metodologie da attuare nella risoluzione di un problema. Solo grazie a ricerche su internet e forum come questo si può riuscire a colmare lacune che facilmente possono insorgere.
Riassumendo comunque un pò il discorso vi propongo un ulteriore esercizio/esempio di quello di cui prima accennavo:
la funzione è : $x^4-6x^2y^2+y^4$ il cui unico punto critico che trovo è $O-=(0,0)$.
La matrice hessiana corrispondente mi restituisce un determinate nullo.
Studio il caso $y=x$ ed ottengo $g(x,x)=-4x^4$ di cui la derivata prima è $g'(x,x)=-16x^3$ la quale è $>=0$ se $x<=0$; quindi il punto $O$ è un punto di massimo.
Studiando il caso $y=-x$ ottengo di nuovo $g(x,x)=-4x^4$ e $g'(x,x)=-16x^3$ la quale è $>=0$ se $x<=0$ e quindi ancora di massimo.
Considerato adesso il caso in cui $x=0$ ottengo che $g(0,y)=y^4$ la cui derivata è $g'(0,y)=4y^3$ che è $>=0$ per $x>=0$ e quindi trovo un punto di minimo stavolta; lo stesso vale per $y=0$.
Concludo dicendo che la funzione nel punto $O$ non è ne di massimo, ne di minimo.
Un ultima domanda: Se anche nei casi di $x=0$ e $y=0$ mi usciva un punto di massimo, avrei potuto concludere che la funzione non è negativa nell'intorno di $O$?
Riassumendo comunque un pò il discorso vi propongo un ulteriore esercizio/esempio di quello di cui prima accennavo:
la funzione è : $x^4-6x^2y^2+y^4$ il cui unico punto critico che trovo è $O-=(0,0)$.
La matrice hessiana corrispondente mi restituisce un determinate nullo.
Studio il caso $y=x$ ed ottengo $g(x,x)=-4x^4$ di cui la derivata prima è $g'(x,x)=-16x^3$ la quale è $>=0$ se $x<=0$; quindi il punto $O$ è un punto di massimo.
Studiando il caso $y=-x$ ottengo di nuovo $g(x,x)=-4x^4$ e $g'(x,x)=-16x^3$ la quale è $>=0$ se $x<=0$ e quindi ancora di massimo.
Considerato adesso il caso in cui $x=0$ ottengo che $g(0,y)=y^4$ la cui derivata è $g'(0,y)=4y^3$ che è $>=0$ per $x>=0$ e quindi trovo un punto di minimo stavolta; lo stesso vale per $y=0$.
Concludo dicendo che la funzione nel punto $O$ non è ne di massimo, ne di minimo.
Un ultima domanda: Se anche nei casi di $x=0$ e $y=0$ mi usciva un punto di massimo, avrei potuto concludere che la funzione non è negativa nell'intorno di $O$?
"jack_queen":
Considerato adesso il caso in cui $x=0$ ottengo che $g(0,y)=y^4$ la cui derivata è $g'(0,y)=4y^3$ che è $>=0$ per $x>=0$ e quindi trovo un punto di minimo stavolta; lo stesso vale per $y=0$.
Concludo dicendo che la funzione nel punto $O$ non è ne di massimo, ne di minimo.
Basta anche solo una direzione con criticità differente dalle altre per concludere che non è di massimo né di minimo. Lo studio delle direzioni, in pratica, serve quando con determinante e simili non si sa più dove sbattere la testa.
"jack_queen":
Un ultima domanda: Se anche nei casi di $x=0$ e $y=0$ mi usciva un punto di massimo, avrei potuto concludere che la funzione non è negativa nell'intorno di $O$?
?
Se gli altri ti uscivano di massimo o dovevi cercare di rifare i conti (quando tante direzioni sono uguali come criticità il dubbio sorge
) oppure trovarne altre sperando di imbeccare quella controcorrente. EDIT
Puntualizzo un paio di cose: so che quando uno è immerso nello studio dà fastidio tutto, ma aggiungo solo alcuni dettagli tecnici.
Tu dici
"ottengo che $g(0,y)=y^4$ la cui derivata è $g'(0,y)=4y^3$ che è $>=0$ per $x>=0$ e quindi trovo un punto di minimo stavolta"
non è che ha molto senso, sarebbe meglio dire (a parte il fatto che è $y$ e non $x$ dato che $x=0$ è fissato)
"ottengo che $g(0,y)=y^4$ la cui derivata è $g'(0,y)=4y^3$ che per $y<0$ è negativa e per $y>0$ è positiva da cui deduco che la funzione prima decresce poi cresce quindi è un punto di minimo".
(Magari le parole leggermente differenti ma il succo non cambia).
Inoltre, per completezza, ma solo per completezza, aggiungo che sarebbe meglio scrivere direttamente
$f(0,y)$ invece che $g(0,y)$
anche perché se fissi una variabile, tra l'altro, potresti scrivere direttamente $g(y)$ senza lo zero prima (cambiare nome in questo caso è meglio, sottintende "indico $g(y)=f(0,y)$"): in tal caso avrebbe senso anche la scrittura $g'$.
Infatti $g'(0,y)$ è un po' contorta perché per funzioni di due variabili si parla di derivate parziali, sarebbe più corretto - ad esempio - $d/(dy) g(0,y)$ (o $g_y (0,y)$) anche se poi si rimanda al dire "potevi lasciare direttamente $f$").
"jack_queen":
Beh grazie mille intanto per le risposte, e a mio malgrado devo dire che l'analisi II che viene introdotta da alcuni insegnanti universitari non spesso ricopre le più banali metodologie da attuare nella risoluzione di un problema. Solo grazie a ricerche su internet e forum come questo si può riuscire a colmare lacune che facilmente possono insorgere.
Non criticare gli insegnanti, non è detto che sia un bene che ti spieghino tutto-tutto-tutto per filo e per segno. Gli studenti hanno le forze per ragionare per conto loro.
"jack_queen":
la funzione è : $x^4-6x^2y^2+y^4$ il cui unico punto critico che trovo è $O-=(0,0)$.
La matrice hessiana corrispondente mi restituisce un determinate nullo.
Studio il caso $y=x$ ed ottengo $g(x,x)=-4x^4$ di cui la derivata prima è $g'(x,x)=-16x^3$ la quale è $>=0$ se $x<=0$; quindi il punto $O$ è un punto di massimo.
Studiando il caso $y=-x$ ottengo di nuovo $g(x,x)=-4x^4$ e $g'(x,x)=-16x^3$ la quale è $>=0$ se $x<=0$ e quindi ancora di massimo.
Considerato adesso il caso in cui $x=0$ ottengo che $g(0,y)=y^4$ la cui derivata è $g'(0,y)=4y^3$ che è $>=0$ per $x>=0$ e quindi trovo un punto di minimo stavolta; lo stesso vale per $y=0$.
Concludo dicendo che la funzione nel punto $O$ non è ne di massimo, ne di minimo.
Sono d'accordo
"jack_queen":
Un ultima domanda: Se anche nei casi di $x=0$ e $y=0$ mi usciva un punto di massimo, avrei potuto concludere che la funzione non è negativa nell'intorno di $O$?
Direi di no, ci sono anche altre direzioni oltre gli assi e le bisettrici, aren't there?
gio73 mi permetterà un piccolo ot 
A cui aggiungo: non criticare gli insegnanti che gio73 è un'insegnante.
Comunque ha ragione gio73, anche se però gli insegnanti qualcosa in più potevano dirlo: almeno anche solo - a parole - dire "se con il determinante dell'Hessiana non si va da nessuna parte, si può provare a calcolare la funzione da diverse direzioni". In pratica lasciare intendere che c'è una soluzione.
Poi, se l'insegnante non lo dice ma sta sul libro, non è che sia controindicato apprenderla per conto proprio... anzi!
"gio73":
Non criticare gli insegnanti, non è detto che sia un bene che ti spieghino tutto-tutto-tutto per filo e per segno. Gli studenti hanno le forze per ragionare per conto loro.
A cui aggiungo: non criticare gli insegnanti che gio73 è un'insegnante.
Comunque ha ragione gio73, anche se però gli insegnanti qualcosa in più potevano dirlo: almeno anche solo - a parole - dire "se con il determinante dell'Hessiana non si va da nessuna parte, si può provare a calcolare la funzione da diverse direzioni". In pratica lasciare intendere che c'è una soluzione.
Poi, se l'insegnante non lo dice ma sta sul libro, non è che sia controindicato apprenderla per conto proprio... anzi!
Hai perfettamente ragione ad essere preciso; è giustissimo! Comunque ha senso quando dici che avendo una criticità in quel punto sembra strano che i conti non tornano (se avessi avuto anche i massimi lungo gli assi).Grazie mille per la pazienza e la cortesia...a presto!
"jack_queen":
Grazie mille per la pazienza e la cortesia...a presto!
Di nulla... vedi magari se entro qualche giorno qualcuno mi smentisce che non si sa mai!
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