Funzione a 2 variabili
Mi aiutate a trovare i punti stazionari di questa funzione a due variabili : x^(2y)+(x^2)-2y ?
ho calcolato le derivate parziali ma quando le pongo uguali a zero e le metto ha sistema per trovare i punti stazionari nn riesco a risolverlo...
ho calcolato le derivate parziali ma quando le pongo uguali a zero e le metto ha sistema per trovare i punti stazionari nn riesco a risolverlo...
Risposte
Ciao,e ben arivata/o in questo forum!
Hai $f(x,y)=x^(2y)+x^2-2y$?
Però...altino il livello del sistema che salta fuori dall'annullamento del gradiente!
Confermalo,aggiungici i tuoi tentativi e magari ne riparliamo:
saluti dal web.
Hai $f(x,y)=x^(2y)+x^2-2y$?
Però...altino il livello del sistema che salta fuori dall'annullamento del gradiente!
Confermalo,aggiungici i tuoi tentativi e magari ne riparliamo:
saluti dal web.
Allora io ho calcolato derivata parziale prima di x e di y ke mi vengono :
Dp(x)= $2y * [x^(2y-1)] + 2x$
Dp(y)= $[x^(2y)] * 2 * [ln (x)] - 2$
poi le ho messe a sistema e poste uguali a zero.. $\{(2y * x^{2y-1} + 2x = 0),(x^{2y} * 2 * ln (x) - 2 = 0):}$
dalla prima ho raccolto 2x : $2x*[y * (x^{2y-2}) + 1]= 0$ e ho posto $2x=0$ e $y * (x^{2y-2}) + 1=0$
quindi da $2x= 0$ ho trovato $x=0$ e ho provato a sostituirlo sulla seconda equazione ma nn era accettabile visto ke il $ln (0)$ nn esiste... invece da $y * [x^{2y-2}] + 1=0$ nn sn riuscito a ricavare niente...
ho provato a isolare la $x$ o la $y$ in qualche modo per poi provarla a sostituire in una delle 2 equazioni ma nn ci riesco..
vi prego datemi una mano.... grazie...
Dp(x)= $2y * [x^(2y-1)] + 2x$
Dp(y)= $[x^(2y)] * 2 * [ln (x)] - 2$
poi le ho messe a sistema e poste uguali a zero.. $\{(2y * x^{2y-1} + 2x = 0),(x^{2y} * 2 * ln (x) - 2 = 0):}$
dalla prima ho raccolto 2x : $2x*[y * (x^{2y-2}) + 1]= 0$ e ho posto $2x=0$ e $y * (x^{2y-2}) + 1=0$
quindi da $2x= 0$ ho trovato $x=0$ e ho provato a sostituirlo sulla seconda equazione ma nn era accettabile visto ke il $ln (0)$ nn esiste... invece da $y * [x^{2y-2}] + 1=0$ nn sn riuscito a ricavare niente...
ho provato a isolare la $x$ o la $y$ in qualche modo per poi provarla a sostituire in una delle 2 equazioni ma nn ci riesco..
vi prego datemi una mano.... grazie...
c'è qualcuno ke mi può dare una mano? ke dom ho l' esame di analisi 2 e questo es nn riesco proprio a risolverlo grazie...
a me non pare un esercizio di analisi questo, ma di algebra...ma è pazzo il tuo prof?!L'unica informazione che sono riuscito a ricavare è che la soluzione (le soluzioni) sta nel quarto quadrante, esclusi i punti sugli assi...per il resto aspetta che qualcuno piu in gamba si metta e lo risolva...
Il problema è che partite a fare conti senza guardare bene cosa avete davanti.
Innanzitutto chiariamo una volta per tutte che l'insieme di definizione della funzione è \(]0,\infty[\times \mathbb{R}\).
Notiamo che nessun punto giacente sulla retta d'equazione \(x=1\) può annullare il gradiente, perché la seconda equazione del sistema non è soddisfatta da alcun punto del tipo \((1,y)\). Capito che \(x\neq 1\), dalla seconda equazione si ricava facilmente:
\[
x^{2y} = \frac{1}{\ln x}
\]
quindi sostituendo nella prima si ottiene:
\[
y=-x^2\ln x\ \qquad x\neq 1
\]
che è l'equazione della curva sulla quale stanno gli estremanti.
[asvg]xmin=0; xmax=6; ymin=-5; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("-x^2*log(x)");
stroke="black"; dot([1,0]);[/asvg]
@Plepp: Come vedi, non ci sono così tanti docenti "pazzi" nelle aule universitarie... Ma di studenti che non sanno fare i conti ce ne sono a bizzeffe.
Innanzitutto chiariamo una volta per tutte che l'insieme di definizione della funzione è \(]0,\infty[\times \mathbb{R}\).
Notiamo che nessun punto giacente sulla retta d'equazione \(x=1\) può annullare il gradiente, perché la seconda equazione del sistema non è soddisfatta da alcun punto del tipo \((1,y)\). Capito che \(x\neq 1\), dalla seconda equazione si ricava facilmente:
\[
x^{2y} = \frac{1}{\ln x}
\]
quindi sostituendo nella prima si ottiene:
\[
y=-x^2\ln x\ \qquad x\neq 1
\]
che è l'equazione della curva sulla quale stanno gli estremanti.
[asvg]xmin=0; xmax=6; ymin=-5; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("-x^2*log(x)");
stroke="black"; dot([1,0]);[/asvg]
@Plepp: Come vedi, non ci sono così tanti docenti "pazzi" nelle aule universitarie... Ma di studenti che non sanno fare i conti ce ne sono a bizzeffe.
Giusto giusto giusto...beh son pure 6 mesi che non tocco sta categoria di esercizi 
Ad ogni modo, a mio parere è inutile proporre esercizi del genere ad un esame di analisi per Ingegneria...nel senso: se proprio vuoi dare una funzione con infiniti punti critici, dalla in modo che si trovino per lo meno su una curva "banale", tipo una circonferenza, o un'ellissi o robe simili...è inutile un'esercizio del genere, se il fine dell'esame è verificare se lo studente ha assorbito i concetti di Analisi...
Tra l'altro, sai quanto tempo ci perde lo studente medio ad arrivarci, con il nervosismo che si ha all'esame? Un sacco...
E poi, non è detto nemmeno che ci arrivi, lo studente medio...
Ad ogni modo, a mio parere è inutile proporre esercizi del genere ad un esame di analisi per Ingegneria...nel senso: se proprio vuoi dare una funzione con infiniti punti critici, dalla in modo che si trovino per lo meno su una curva "banale", tipo una circonferenza, o un'ellissi o robe simili...è inutile un'esercizio del genere, se il fine dell'esame è verificare se lo studente ha assorbito i concetti di Analisi...
Tra l'altro, sai quanto tempo ci perde lo studente medio ad arrivarci, con il nervosismo che si ha all'esame? Un sacco...
E poi, non è detto nemmeno che ci arrivi, lo studente medio...
[OT]
Ed allora, sapendo di essere in difetto, faresti meglio a lasciare fuori dal tuo vocabolario certe parole.
Questo è un discorso interessante.
Un esercizio di questo tipo è semplicissimo: non si deve far altro che individuare il termine "rognoso" dentro le equazioni, i.e. \(x^{2y}\), e cercare di eliminarlo (e l'eliminazione si fa con un conticino da terzo liceo).
Se lo studente non impara nemmeno questo principio base della risoluzione dei problemi, che glielo si dà a fare l'esame? Per fare numero sul libretto?
In altre parole, questo esercizio è pensato proprio per far dimostrare allo studente che ha imparato questo modo di ragionare per la risoluzione dei problemi; il che è molto più utile di saper fare due conticini su un'ellisse, perché in fin dei conti un ingegnere deve risolvere problemi molto più complessi di questo.
In generale, cosa mettere nell'esame di Analisi?
Beh, se proprio uno volesse sondare l'expertise analitica di uno studente, allora dovrebbe andare a vedere se sa dimostrare da solo dei semplici teoremi oppure se sa usare gli strumenti di base in modo creativo... Quindi se un professore di Analisi volesse davvero fare questo tipo di verifica, di 100 esaminandi se ne salverebbe uno o forse due.
"Mediando" di anno in anno, si arriva prossimi allo zero.
[/OT]
"Plepp":
Giusto giusto giusto...beh son pure 6 mesi che non tocco sta categoria di esercizi
Ed allora, sapendo di essere in difetto, faresti meglio a lasciare fuori dal tuo vocabolario certe parole.
"Plepp":
Ad ogni modo, a mio parere è inutile proporre esercizi del genere ad un esame di analisi per Ingegneria...nel senso: se proprio vuoi dare una funzione con infiniti punti critici, dalla in modo che si trovino per lo meno su una curva "banale", tipo una circonferenza, o un'ellissi o robe simili...è inutile un'esercizio del genere, se il fine dell'esame è verificare se lo studente ha assorbito i concetti di Analisi...
Questo è un discorso interessante.
Un esercizio di questo tipo è semplicissimo: non si deve far altro che individuare il termine "rognoso" dentro le equazioni, i.e. \(x^{2y}\), e cercare di eliminarlo (e l'eliminazione si fa con un conticino da terzo liceo).
Se lo studente non impara nemmeno questo principio base della risoluzione dei problemi, che glielo si dà a fare l'esame? Per fare numero sul libretto?
In altre parole, questo esercizio è pensato proprio per far dimostrare allo studente che ha imparato questo modo di ragionare per la risoluzione dei problemi; il che è molto più utile di saper fare due conticini su un'ellisse, perché in fin dei conti un ingegnere deve risolvere problemi molto più complessi di questo.
In generale, cosa mettere nell'esame di Analisi?
Beh, se proprio uno volesse sondare l'expertise analitica di uno studente, allora dovrebbe andare a vedere se sa dimostrare da solo dei semplici teoremi oppure se sa usare gli strumenti di base in modo creativo... Quindi se un professore di Analisi volesse davvero fare questo tipo di verifica, di 100 esaminandi se ne salverebbe uno o forse due.
"Plepp":
Tra l'altro, sai quanto tempo ci perde lo studente medio ad arrivarci, con il nervosismo che si ha all'esame? Un sacco...
E poi, non è detto nemmeno che ci arrivi, lo studente medio...
"Mediando" di anno in anno, si arriva prossimi allo zero.
[/OT]
In generale, cosa mettere nell'esame di Analisi?
Beh, se proprio uno volesse sondare l'expertise analitica di uno studente, allora dovrebbe andare a vedere se sa dimostrare da solo dei semplici teoremi oppure se sa usare gli strumenti di base in modo creativo...
Non è quello il mestiere di un ingegnere medio (purtroppo, ma ormai è fatta...)...se poi ci volessero preparare tutti al meglio, ben venga...
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