Funzione

[sssebi]

Salve piccolo problemino su una funzione

$ f(x) = logx(x+1)+(2x+1)/(x+1) $

Provare che esiste un sol punto $ x' > 0 $ tale che $ f(x') = 0 $

L'unico modo che mi viene in mente è quello di porre la funzione uguale a zero per trovare il valore di x', solo che mi viene troppo lungo e impreciso perchè ho lasciato il logaritmo al primo membro e il resto al secondo membro e ho studiato le due funzioni, infine mettendo insieme i grafici il punto richiesto approssimativamente lo trovo... Ma non ci sarebbe un modo più veloce?

[Sk_Anonymous]

Non è chiaro quale sia l'argomento del logaritmo.

[sssebi]

$ x(x+1) $

Pardon.

[Sk_Anonymous]

Poichè:

$lim_(x->0^+)f(x)=-oo$

$lim_(x->+oo)f(x)=+oo$,

puoi risolvere l'esercizio se la funzione è crescente per $x>0$.

[sssebi]

Ah capisco... In pratica io ho perso un'ora per per cercare di trovare il punto quando invece potevo benissimo farne a meno
Quindi è come il teorema dell'esistenza degli zeri, dato che in punto la funzione è negativa e in un altro è positiva, essendo crescente e continua, ci dovrà necessariamente essere un punto in cui la funzione è zero.

Bene, grazie speculor

[Sk_Anonymous]

Ho calcolato la derivata, mi risulta positiva per $x>0$. In ogni modo, hai fatto bene a precisare l'ipotesi di continuità.

[borador]

Ciao ragazzi, scusatemi se "approfitto" di questo topic ma anche io sto studiando analisi e vorrei farvi una domanda.
Speculator, te hai detto che basta che la funzione sia crescente, ma a me è venuto un dubbio: per far sì che ci sia un solo zero, non dovrebbe essere continua e STRETTAMENTE crescente?
Una funzione solo crescente potrebbe essere anche costante in zero e averne infiniti di zeri!
Scusate se dico castronerie ma sto studiando proprio ora