Funzione 2 variabili semplice ma...
..sera a tutti, ho questa funzione.
con x,y appartenenti ]0,1[
devo trovare la lunghezza del codominio.
Dandomi quei valori di x,y in pratica devo studiare la funzione nel quadrato con vertici 0,0 0,1 1,1 1,0 che ne rappresenta il dominio, in questo caso, e trovarmi min e max per stabilire la lunghezza del codominio?
Osservo poi (ma come sempre correggertemi...) che essendo 0,1 un intervallo aperto non devo considerare i vertici, ma i lati del quadrato si, e' vero?
Il nostro modus operandi e' questo:
Mi studio dove le derivate parziali si annullino per vedere se all'interno del quadrato ci sono max e min
a me sembra che si annullino nel punto (0,0) che' e' pero' escluso dal dominio in questione...
(ricordo che non usiamo l'Hessiano...mi sembra si dica cosi')
Allora passo ai lati.
x=0
y=0
y=1
x=1
sostituisco ciascuno di questi valori nella funzione, e calcolo la derivata prima controllando per quali valori si annulla la stessa:
Noto che sostituendo y=1 ottengo poi deriv. 8x-2=0 per x=1/4 valore accettabile...e di conseguenza y=1/2
quindi ho trovato un punto sul lato y=1 (1/4, 1) In questo punto la f(x,y) vale -1/4 che significa che' e' il minimo? e il max? senza come faccio a calcolare il codominio?
Aiutooo.
Anna
con x,y appartenenti ]0,1[
devo trovare la lunghezza del codominio.
Dandomi quei valori di x,y in pratica devo studiare la funzione nel quadrato con vertici 0,0 0,1 1,1 1,0 che ne rappresenta il dominio, in questo caso, e trovarmi min e max per stabilire la lunghezza del codominio?
Osservo poi (ma come sempre correggertemi...) che essendo 0,1 un intervallo aperto non devo considerare i vertici, ma i lati del quadrato si, e' vero?
Il nostro modus operandi e' questo:
Mi studio dove le derivate parziali si annullino per vedere se all'interno del quadrato ci sono max e min
a me sembra che si annullino nel punto (0,0) che' e' pero' escluso dal dominio in questione...
(ricordo che non usiamo l'Hessiano...mi sembra si dica cosi')
Allora passo ai lati.
x=0
y=0
y=1
x=1
sostituisco ciascuno di questi valori nella funzione, e calcolo la derivata prima controllando per quali valori si annulla la stessa:
Noto che sostituendo y=1 ottengo poi deriv. 8x-2=0 per x=1/4 valore accettabile...e di conseguenza y=1/2
quindi ho trovato un punto sul lato y=1 (1/4, 1) In questo punto la f(x,y) vale -1/4 che significa che' e' il minimo? e il max? senza come faccio a calcolare il codominio?
Aiutooo.
Anna
Risposte
se gli estremi sono esclusi devi escludere anhe i lati perchè una delle coordinate resta sempre fuori dal dominio
Ciao,ragazzi!
Consideratela la frontiera del dominio di quella funzione continua,
per come in effetti ha fatto Anna sebbene in parte;
il buon Weierstrass c'ha assicurato che in questo prolungamento di quell'insieme ci saranno minimo e massimo,
(e suggerito al contempo un modo per individuarli sia che stiano nell'interno e siano pure derivabili rispetto ad x ed y,
sia che stiano all'interno ma manca almeno una derivata parziale,sia che stiano sulla frontiera..),
dato che unendogli la sua frontiera esso godrà d'una importante caratteristica topologica:
a quel punto basterà osservare che,ad ex,gli intervalli $(1/2,2)$ e $[1/2,2]$ hanno la stessa ampiezza,
o "lunghezza" che dir si voglia,sebbene uno abbia max e min e l'altro "solo" inf e sup..
Saluti dal web.
Consideratela la frontiera del dominio di quella funzione continua,
per come in effetti ha fatto Anna sebbene in parte;
il buon Weierstrass c'ha assicurato che in questo prolungamento di quell'insieme ci saranno minimo e massimo,
(e suggerito al contempo un modo per individuarli sia che stiano nell'interno e siano pure derivabili rispetto ad x ed y,
sia che stiano all'interno ma manca almeno una derivata parziale,sia che stiano sulla frontiera..),
dato che unendogli la sua frontiera esso godrà d'una importante caratteristica topologica:
a quel punto basterà osservare che,ad ex,gli intervalli $(1/2,2)$ e $[1/2,2]$ hanno la stessa ampiezza,
o "lunghezza" che dir si voglia,sebbene uno abbia max e min e l'altro "solo" inf e sup..
Saluti dal web.
aspetta..ma come sono usciti 1/2 e 2 ?
Ciao,Anna.
A caso,per mia pigrizia;
ma ora che ho riletto meglio il tuo post ti dico che,se hai fatto bene i conti,uno dei due dovrebbe essere $-1/4$:
per l'altro pensaci tu,
che ormai hai tanti buoni mezzi..
Saluti dal web.
"anna01":
aspetta..ma come sono usciti 1/2 e 2 ?
A caso,per mia pigrizia;
ma ora che ho riletto meglio il tuo post ti dico che,se hai fatto bene i conti,uno dei due dovrebbe essere $-1/4$:
per l'altro pensaci tu,
che ormai hai tanti buoni mezzi..
Saluti dal web.
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