Funzione 2 variabili, dubbio estremi relativi...
Ciao a tutti
Ho questa funzione:
$f(x,y)=ln (x^3+x^2y+xy+y^2+1)$
devo studiarne i punti di estremo relativo.
Calcolando le derivate parziali $f_x$ed $f_y$ ponendo uguale a 0 e risolvendo, trovo i seguenti punti critici:
$(0,0)$, $(1,-1)$,$(1/2,-3/8)$
Dovrei pure verificare che la funzione nei punti critici abbia senso, cioè vedere se i punti critici appartengono al dominio.
Ora mi basta calcolare le derivate seconde e studiare l'hessiana in ogni punto critico.
Essendo questo esercizio svolto vedo che il libro considera fin dall'inizio solo l'argomento del logaritmo, insomma la funzione $g(x,y)=x^3+x^2y+xy+y^2+1$ e su questa fa tutto il procedimento(derivate prime, secondo, hessiana etc etc..) ed è una gran cosa perchè si svolge tutto più velocemente sopratutto nella derivazione.
Vi chiedo: perchè POSSO fare questo?
Grazie anticipate
Ho questa funzione:
$f(x,y)=ln (x^3+x^2y+xy+y^2+1)$
devo studiarne i punti di estremo relativo.
Calcolando le derivate parziali $f_x$ed $f_y$ ponendo uguale a 0 e risolvendo, trovo i seguenti punti critici:
$(0,0)$, $(1,-1)$,$(1/2,-3/8)$
Dovrei pure verificare che la funzione nei punti critici abbia senso, cioè vedere se i punti critici appartengono al dominio.
Ora mi basta calcolare le derivate seconde e studiare l'hessiana in ogni punto critico.
Essendo questo esercizio svolto vedo che il libro considera fin dall'inizio solo l'argomento del logaritmo, insomma la funzione $g(x,y)=x^3+x^2y+xy+y^2+1$ e su questa fa tutto il procedimento(derivate prime, secondo, hessiana etc etc..) ed è una gran cosa perchè si svolge tutto più velocemente sopratutto nella derivazione.
Vi chiedo: perchè POSSO fare questo?
Grazie anticipate
Risposte
Il motivo sta nel fatto che la funzione logaritmo è continua e strettamente monotona. Questo fa sì che i punti di massimo (minimo ) per la tua funzione $f(x,y)=log(g(x,y))$ coincidano con quelli di $g(x,y)$.
Ovviamente, se $(x_0,y_0)$ è un punto di massimo (minimo) per $f$ tale che $f(x_0,y_0)=z_0$ allora $(x_0,y_0)$ sarà massimo (minimo ) per $g$ ma in generale $z_0 != g(x_0,y_0)$
Ovviamente, se $(x_0,y_0)$ è un punto di massimo (minimo) per $f$ tale che $f(x_0,y_0)=z_0$ allora $(x_0,y_0)$ sarà massimo (minimo ) per $g$ ma in generale $z_0 != g(x_0,y_0)$
Ah bene, questo vale sempre quando la funzione esterna è strettamente monotona e continua?
Si, il discorso è lo stesso ! Se la funzione è strettamente decrescente però i punti di massimo si riflettono in punti di minimo e viceversa.
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