Funzione 2 variabili. Differenziabile?
Ciao a tutti!
Ho un problema con una funzione apparentemente semplice:
$x^2/(x^2+y^2)$
la consegna mi chiede di trovare il dominio, le due derivate parziali e trovare se è una funzione differenziabile oppure no.
allora per il dominio basta che il denominatore sia diverso da zero. quindi $x!=0$ e $y!=0$ in linea teorica dato che il denominatore è uguale a zero solo per quella coppia di soluzioni.
Le derivate parziali sono abbastanza semplici da calcolare ed ho rispettivamente per x e y
$2xy^2/(x^2+y^2)^2$ e $-2x^2y/(x^2+y^2)^2$
ora come faccio a capire se è differenziabile? in teoria deve esistere un piano tangente? non riesco proprio a trovare come si possa fare... forse devono esistere i due limiti per h che tendono a zero?
vi ringrazio per le risposte che mi darete!
un saluto
matteo
Ho un problema con una funzione apparentemente semplice:
$x^2/(x^2+y^2)$
la consegna mi chiede di trovare il dominio, le due derivate parziali e trovare se è una funzione differenziabile oppure no.
allora per il dominio basta che il denominatore sia diverso da zero. quindi $x!=0$ e $y!=0$ in linea teorica dato che il denominatore è uguale a zero solo per quella coppia di soluzioni.
Le derivate parziali sono abbastanza semplici da calcolare ed ho rispettivamente per x e y
$2xy^2/(x^2+y^2)^2$ e $-2x^2y/(x^2+y^2)^2$
ora come faccio a capire se è differenziabile? in teoria deve esistere un piano tangente? non riesco proprio a trovare come si possa fare... forse devono esistere i due limiti per h che tendono a zero?
vi ringrazio per le risposte che mi darete!
un saluto
matteo
Risposte
Ad esempio: ove le derivate parziali sono continue lì è differenziabile la tua funzione!
Ma ti si chiede di trovare la differenziabilità in un punto sicuramente...quale?
Il teorema del differenziale totale lo hai studiato? applica quello, nei punti dove le derivate parziali non sono continue ti devi "arrangiare" ad applicare la definizione di differenziale...
Scusate l'ignoranza ma ancora non l'ho capito.
Quando un insieme si dice aperto e quand ochiuso?
Cercando le definizioni ho trovato che è aperto se contiene solo i suoi punti interni, chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera o di accumulazione.
In questo caso poichè il dominio esclude l'origine dovrebbe essere aperto giusto?
Mi fareste un esempio di funzione dotata di dominio chiuso?
Quando un insieme si dice aperto e quand ochiuso?
Cercando le definizioni ho trovato che è aperto se contiene solo i suoi punti interni, chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera o di accumulazione.
In questo caso poichè il dominio esclude l'origine dovrebbe essere aperto giusto?
Mi fareste un esempio di funzione dotata di dominio chiuso?
$f(x,y)= sqrt(1-x^2-y^2)$
In questo caso il dominio...dovrebbe essere dato da punti tali che:
[tex]x=0,y=0[/tex] [tex]x=0,y=1[/tex] [tex]x=1,y=0[/tex] [tex]x=0,y=-1[/tex] [tex]x=-1,y=0[/tex] ?
[tex]x=0,y=0[/tex] [tex]x=0,y=1[/tex] [tex]x=1,y=0[/tex] [tex]x=0,y=-1[/tex] [tex]x=-1,y=0[/tex] ?
Perchè consideri dei punti isolati ???
Il dominio di quella funzione si trova risolvendo la disequazione $x^2+y^2 <=1 $ , non dirmi che non sai cosa rappresenti nel piano l'equazione $x^2+y^2= 1 $ e di conseguenza ...
Il dominio di quella funzione si trova risolvendo la disequazione $x^2+y^2 <=1 $ , non dirmi che non sai cosa rappresenti nel piano l'equazione $x^2+y^2= 1 $ e di conseguenza ...
"Darèios89":
Ma ti si chiede di trovare la differenziabilità in un punto sicuramente...quale?
la consegna dice:
1) trovare il suo dominio
2) trovare le derivate parziali e dire dove la funzione è differenziabile
3) trovare i punti stazionari della funzione
"Camillo":
Perchè consideri dei punti isolati ???
Il dominio di quella funzione si trova risolvendo la disequazione $x^2+y^2 <=1 $ , non dirmi che non sai cosa rappresenti nel piano l'equazione $x^2+y^2= 1 $ e di conseguenza ...
Bè è una sorta di ellisse che si interseca negli assi nei punti -1 e 1.
Quindi comprende punti interni all'ellisse e anche la "circonferenza" dell'ellisse, quindi anche i punti di frontiera in teoria, allora è un insieme chiuso?
Darèios, che tu non sappia che $x^2 + y^2 =1$ rappresenta la circonferenza di raggio 1 è grave, corri subito a ristudiarti un po' di coniche!
Comunque stiamo andando un po' OT:
@dna
Per studiare la differenziabilità di una funzione da $RR^2$ a $RR$ solitamente si procede così:
Per prima cosa si guarda dove la funzione non è continua. In quei punti non sarà neppure differenziabile, per via di un noto teorema.
Dopodiché si utilizza il teorema del differenziale totale, la cui ipotesi fondamentale è che le derivate parziali siano funzioni continue nel punto in cui vuoi studiare la differenziabilità.
Quindi il primo passo è studiarsi le derivate parziali e vedere l'insieme in cui queste sono continue. In quell'insieme chiaramente, per il suddetto teorema, si avrà differenziabilità garantita.
Purtroppo non è finita qui, perché non è detto che le derivate parziali siano continue ovunque nel dominio della funzione. Nei punti in cui le derivate parziali non sono continue, devi usare la definizione di differenziale, e verificare dunque se, detto $u$ un punto in cui devi verificare la differenziabilità:
$lim_(v->0) (f(u+v)-f(u))/||v|| = l in RR$ *
Dove v è un generico vettore di coponenti $(h,k)$
Solo in questo caso allora, nei punti che stai studiando, la funzione sarà differenziabile!
*Analogamente nel caso di funzioni da $RR^n$ a $RR$
Comunque stiamo andando un po' OT:
@dna
Per studiare la differenziabilità di una funzione da $RR^2$ a $RR$ solitamente si procede così:
Per prima cosa si guarda dove la funzione non è continua. In quei punti non sarà neppure differenziabile, per via di un noto teorema.
Dopodiché si utilizza il teorema del differenziale totale, la cui ipotesi fondamentale è che le derivate parziali siano funzioni continue nel punto in cui vuoi studiare la differenziabilità.
Quindi il primo passo è studiarsi le derivate parziali e vedere l'insieme in cui queste sono continue. In quell'insieme chiaramente, per il suddetto teorema, si avrà differenziabilità garantita.
Purtroppo non è finita qui, perché non è detto che le derivate parziali siano continue ovunque nel dominio della funzione. Nei punti in cui le derivate parziali non sono continue, devi usare la definizione di differenziale, e verificare dunque se, detto $u$ un punto in cui devi verificare la differenziabilità:
$lim_(v->0) (f(u+v)-f(u))/||v|| = l in RR$ *
Dove v è un generico vettore di coponenti $(h,k)$
Solo in questo caso allora, nei punti che stai studiando, la funzione sarà differenziabile!
*Analogamente nel caso di funzioni da $RR^n$ a $RR$
@zkeggia quella che hai definito è la differenziabilità alla Gateaux; ed in tale link trovi un esempio di funzione differenziabile alla Gateaux ma non alla Fréchet (che è quello che dna88 vuole). Attenzione al francese! 
@dna88 devi determinare i punti [tex]$(x_0;y_0)\in D$[/tex] (insieme di definizione) tali che [tex]$\lim_{(h;k)\to(0;0)}\frac{f(x_0+h;y_0+k)-f(x_0;y_0)-hf_x(x_0;y_0)-kf_y(x_0;y_0)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$[/tex].
@dna88 devi determinare i punti [tex]$(x_0;y_0)\in D$[/tex] (insieme di definizione) tali che [tex]$\lim_{(h;k)\to(0;0)}\frac{f(x_0+h;y_0+k)-f(x_0;y_0)-hf_x(x_0;y_0)-kf_y(x_0;y_0)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$[/tex].
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