Funzione 2 variabili

[piccola881]

ciao a tutti,ho questa funzione:
$(x^2+y^2)/(1+y^2)
innanzi tutto il dominio dovrebbe escludere $y=sqrt(-1)

per trovare il punto del gradiente ho calcolato le due derivate $fx(x,y)= 2x/(1+y^2)
e $fy(x,y)=2y(1-x^2)/(1+y^2)^2

ora però non riesco a trovare il punto P perchè non riesco a risolvere il sistema di queste due disequazioni fratte a 2 variabili(qunado non sono fratte ci riesco tranquillamente)..chi mi aiuta?

[codino75]

se la funzione e' definita su $R^2$ allora non esiste nessuna y tale che il denominatore si annulli

non so aiutarti invece per quanto riguarda il resto ciao

alex

[doppio1]

Che punto stai cercando? Quello in cui il gradiente si annulla? In quel caso, poni [tex]f_x=0[/tex] e [tex]f_y=0[/tex]. Siccome [tex]1+y^2[/tex] è sempre positivo, ricavi [tex]x=0[/tex] e [tex]y(1-x^2)=0[/tex], da cui...

[piccola881]

si ok per quanto riguarda il dominio..ma per il calcolo del punto critico non ho ancora capito.. il denominatore è sempre positivo quindi non lo considero e considero solo il numeratore?e quindi dalla fx mi ricavo che x=0 e nella seconda(al numeratore) ottengo y=0 e x=1
quindi ottengo il punto P(0,1)..sbagliato?

[doppio1]

Prima dici che x=0 e poi che x=1... c'è qualcosa che non va. Dalla prima ottieni che sicuramente x deve essere zero. Dalla seconda ottieni: se x è diverso da più e meno uno, y deve essere zero, oppure se y non è zero, x deve essere uno tra più uno e meno uno. Siamo nel primo caso, y è anche lui zero, i.e. il punto che cerchi è (0,0). Domanda: è punto di massimo, minimo, sella?

[piccola881]

allora,dalla prima disequazione il denominatore è sempre maggiore di zero e non lo considero mentre al numeratore ottengo che x=0
dalla seconda disequazione stesso discorso per il denominatore,mentre per il numeratore una volta ottengo y=0 e un altra volta x=1 e x=-1
quindi ottengo il punto(0,0) come hai detto tu,e poi anche i punti(1,0) e (-1,0)?non ho ancora fatto i calcoli per vedere se sia max min o di sella,volevo prima capire come ottenere il punto critico in disequazioni fratte

[NickBPM]

No stai sbagliando...il sistema impone che le soluzioni siano COMUNI.

Quindi come dici tu dal primo sistema ottieni che x = 0 , questo è l'unico valore che puo' assumere la x

Quindi sostituisci nel secondo sistema x = 0 e ottieni

2y = 0

quindi y = 0

Il punto (0,0) è l'unico punto che soddisfa il sistema....non ce ne sono altri

[piccola881]

ah ok..chiarissimo!nel caso in cui al denominatore c'era un espressione che al contrario di questo cAaso doveva essere considerato come si procedeva?

[NickBPM]

se è per trovare i punti critici il gradiente deve essere messo uguale a zero e quindi i denominatori non li consideri mai !!!

(a parte le eventuali C.E.)