Funzione 2 variabili
salve a tutti..allora,ho questa funzione $\f(x,y)=x^2-2y^2+12y$ nel dominio $\D=x^2+(y-2)^2>=4$
ho calcolato la componente del gradiente e ho trovato il punto P=(0,3)..
ora devo considerare la frontiera e attraverso la parametrizzazione della curva,essendo una circonferenza di centro (0,2)e raggio2
$\{(x=2costheta),(y=2sentheta+2):}
ora per trovare $\theta-> \f(theta)=(2costheta)^2-2(2sentheta+2)^2+12(2sentheta+2)=4cos^2theta-8sen^2theta+16+8sentheta
$\f'(theta)=8costheta(1-3sentheta)
ora trovo quindi che $\theta=pi,theta=arcsen1/3$(quest'ultimo risultato è un po strano perchè dovrei proseguire con angoli approssimati e decimali,ho provato a ricontrollare i calcoli ma trovo sempre questo risultato)..
quindi vi chiedo se ho sbagliato qualcosa,poi un'altra domanda, l'equazione parametrica è riferita a tutta la circonferenza o soltanto ad un arco di circonferenza?
ho calcolato la componente del gradiente e ho trovato il punto P=(0,3)..
ora devo considerare la frontiera e attraverso la parametrizzazione della curva,essendo una circonferenza di centro (0,2)e raggio2
$\{(x=2costheta),(y=2sentheta+2):}
ora per trovare $\theta-> \f(theta)=(2costheta)^2-2(2sentheta+2)^2+12(2sentheta+2)=4cos^2theta-8sen^2theta+16+8sentheta
$\f'(theta)=8costheta(1-3sentheta)
ora trovo quindi che $\theta=pi,theta=arcsen1/3$(quest'ultimo risultato è un po strano perchè dovrei proseguire con angoli approssimati e decimali,ho provato a ricontrollare i calcoli ma trovo sempre questo risultato)..
quindi vi chiedo se ho sbagliato qualcosa,poi un'altra domanda, l'equazione parametrica è riferita a tutta la circonferenza o soltanto ad un arco di circonferenza?
Risposte
scusate l'up ma avevo gia proposto l'esercizio un mesetto fa e non avevo ricevuto risposta e ora che si è avvicinato l'appello di analisi 2 mi servirebbe capire questa cosa..scusate
non ho capito bene cosa devi trovare.. e poi come hai fatto a trovare il punto P = (0,3) a partire dal gradiente ?
devo trovare minimi e massimi assoluti..
il punto caratteristico lo trovo dopo aver fatto le derivate $\gradf(x,y)=(fx,fy)->{(fx=2x),(fy=4y+12):}
e ponendole uguale a zero trovo il punto P(0,3)..ok?
il punto caratteristico lo trovo dopo aver fatto le derivate $\gradf(x,y)=(fx,fy)->{(fx=2x),(fy=4y+12):}
e ponendole uguale a zero trovo il punto P(0,3)..ok?
"piccola88":
devo trovare minimi e massimi assoluti..
il punto caratteristico lo trovo dopo aver fatto le derivate $\gradf(x,y)=(fx,fy)->{(fx=2x),(fy=4y+12):}
e ponendole uguale a zero trovo il punto P(0,3)..ok?
il punto che hai trovato è giusto, comunque come hai visto, si trova fuori dal dominio D, quindi non serve considerarlo.
Per quanto riguarda la frontiera devi usare la regola dei moltiplicatori di Lagrange. Poi ho controllato il tuo metodo, a me la derivata viene:
$f'(\theta) = 8cos\thetasen\theta - 16cos\thetasen\theta + 16cos\theta$, quindi $\theta = \pi, \theta = arcsen2$
l' eq. parametrica che hai scritto è riferita all' intera circonferenza com' è giusto che sia
Comunque cosa non ti tornava sull' angolo con l' arcoseno ?
ok,ora ho ricontrollato i calcoli e mi esce di nuovo cosi(i passaggi li ho scritti in alto,magari puoi ricontrollare li se c'è un errore)..in pratica una volta trovati i valori di $\theta$ si vanno a sostituire nell'eq. parametrica della circonferenza e quindi ottengo
$\{(x=2cospi),(y=2senpi+2):}$da cui trovo il punto $\P_1=(-2;2)$per cui f(P_1)=28
$\{(x=2cos(asen1/3)),(y=2sen(asen1/3)+2):}$da cui trovo il punto ...$\P_2=(1,9;2,7)..
appunto per questo motivo non tanto mi tornava questo tipo di risultato per $\theta$,perchè poi non escono valori precisi,ma decimali...
$\{(x=2cospi),(y=2senpi+2):}$da cui trovo il punto $\P_1=(-2;2)$per cui f(P_1)=28
$\{(x=2cos(asen1/3)),(y=2sen(asen1/3)+2):}$da cui trovo il punto ...$\P_2=(1,9;2,7)..
appunto per questo motivo non tanto mi tornava questo tipo di risultato per $\theta$,perchè poi non escono valori precisi,ma decimali...
"piccola88":
ok,ora ho ricontrollato i calcoli e mi esce di nuovo cosi(i passaggi li ho scritti in alto,magari puoi ricontrollare li se c'è un errore)..in pratica una volta trovati i valori di $\theta$ si vanno a sostituire nell'eq. parametrica della circonferenza e quindi ottengo
$\{(x=2cospi),(y=2senpi+2):}$da cui trovo il punto $\P_1=(-2;2)$per cui f(P_1)=28
$\{(x=2cos(asen1/3)),(y=2sen(asen1/3)+2):}$da cui trovo il punto ...$\P_2=(1,9;2,7)..
appunto per questo motivo non tanto mi tornava questo tipo di risultato per $\theta$,perchè poi non escono valori precisi,ma decimali...
guarda che la derivata di $sen^2(x) = 2sen(x)cos(x)$
Comunque se non ti convincono i risultati prova con i moltiplicatori di Lagrange come ti ho suggerito prima..
Innanzitutto non puoi parlare a priori nè di massimi nè di minimi ma solo di estremi superiori e estremi inferiori perchè il tuo $D$ non è compatto (in particolare, non è limitato).
E infatti, prese $v_n = (2n, 0)$ e $w_n = (0, 4n)$, hai che $v_n, w_n \in D$ per ogni $n \in NN$, $n \geq 1$ e $f(v_n) \rarr +infty$ mentre $f(w_n) \rarr -infty$ quindi non possono esserci nè massimi nè minimi.
E infatti, prese $v_n = (2n, 0)$ e $w_n = (0, 4n)$, hai che $v_n, w_n \in D$ per ogni $n \in NN$, $n \geq 1$ e $f(v_n) \rarr +infty$ mentre $f(w_n) \rarr -infty$ quindi non possono esserci nè massimi nè minimi.
la derivata è proprio come ti ho detto forse hai sbagliato a scrivere la traccia..vabbe in ogni caso con il tuo risultato non riuscirei a trovare un punto preciso,(anzi $\asen2$ a quanto è uguale?)..vorrei proseguire su questo percorso senza utilizzare i moltiplicartori di lagrange perche in aula abbaimo sempre svolto in questo modo gli esercizi e vorrei prima capirli bene in questo modo per poi magari provarea ltri metodi..
ah ecco perchè non ci troviamo con sta derivata:)..stai ragionando sul dominio D io invece sulla funzione f(x,y)..
scusate il nuovo up ma è l'ultimo e visto che dovrei saperlo entro domani e oggi la prof non c'era non so proprio da chi posso farmelo spiegare..se c'è qualcuno che può aiutarmi lo ringrazio..scusate di nuovo..
"piccola88":
scusate il nuovo up ma è l'ultimo e visto che dovrei saperlo entro domani e oggi la prof non c'era non so proprio da chi posso farmelo spiegare..se c'è qualcuno che può aiutarmi lo ringrazio..scusate di nuovo..
cosa significa il tuo intervento:
stai ragionando sul dominio D io invece sulla funzione f(x,y)..
la derivata è sempre uguale sia da un dominio che su un altro..
cio che al posto di sostituire i valori di parametrizzazione in $\f(x,y)=x^2-2y^2+12y$ e derivarla tu li hai sostituiti in nel dominio $\D=x^2+(y-2)^2>=4$ e poi derivato..percio ci troivavamo risultati diversi..
a parte questo.dopo aver sostituito i valori di $\theta$ nelle equazioni parametriche trovo il punto e mi calcolo il valore della funaione in uel punto..poi?l'esercizio come prosegue ?è finito?
a parte questo.dopo aver sostituito i valori di $\theta$ nelle equazioni parametriche trovo il punto e mi calcolo il valore della funaione in uel punto..poi?l'esercizio come prosegue ?è finito?
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