Funzione
Salve ragazzi, mi sono perso: qualcuno mi può dire come si interpreta la funzione $f: RR^2 rarr RR$ data da $(x,y)=1$
Devo pensarla come $ x^2+y^2=1$
Grazie
Devo pensarla come $ x^2+y^2=1$
Grazie
Risposte
Cosa cavolo dovrebbe voler dire?
È scritta come la vedi....io l'ho interpretata come $x^2+y^2=1$ Ma secondo me forse non è Così!
Poi ci sarebbe anche la funzione $f:RR^2→RR$ data da $(x,y)=x$
Poi ci sarebbe anche la funzione $f:RR^2→RR$ data da $(x,y)=x$
Ciao Alin,
Scusa eh, ma sai cosa significa la scrittura $f: \RR^2 \rarr \RR $ ?
Si tratta di una funzione di due variabili $(x,y) \in \RR^2 $ a valori in $\RR $: la funzione di due variabili deve essere assegnata, non è che te la puoi inventare... Sarà una cosa del tipo $z = f(x,y) $, ove $z \in \RR $, ma la funzione $f$ deve essere chiaramente specificata.
Scusa eh, ma sai cosa significa la scrittura $f: \RR^2 \rarr \RR $ ?
Si tratta di una funzione di due variabili $(x,y) \in \RR^2 $ a valori in $\RR $: la funzione di due variabili deve essere assegnata, non è che te la puoi inventare... Sarà una cosa del tipo $z = f(x,y) $, ove $z \in \RR $, ma la funzione $f$ deve essere chiaramente specificata.
Il problema è proprio questo! Non sono specificate....forse un errore di battitura? Chissà...
Secondo me manca la $f$
$f(x,y)=1$ nel primo caso, $f(x,y)=x$ nel secondo
$f(x,y)=1$ nel primo caso, $f(x,y)=x$ nel secondo
"@melia":
Secondo me manca la $ f $
$ f(x,y)=1 $ nel primo caso, $ f(x,y)=x $ nel secondo
Grazie @melia, se fosse così qual è l'espressione che devo attribuire a
$ f(x,y)=1$,
$x+y=1$, $x/y=1$....
$ f(x,y)=x $,
$xy=x$....
Se intendi interpretazione grafica, è praticamente uguale alle funzioni da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$: in sostanza, mentre in $\mathbb{R}$ disegnavi due assi ortogonali nel piano e vedevi un'unica "altezza" $y$ corrispondente a ogni ascissa $x$ nel dominio di $f$ (che era un sottoinsieme di $\mathbb{R}$), ora disegni tre assi ortogonali nello spazio e vedi $f(x,y)$ come un'unica "quota" $z$ nello spazio corrispondente a ogni coppia $(x,y)$ che giace stavolta non su una retta ma su un sottoinsieme del piano $\mathbb{R}^2$.
Quindi, con quest'idea, la funzione $f(x,y)=1$ significa "quota fissa $1$" e, se il dominio di $f$ è $\mathbb{R}^2$, significa che tale quota è fissa a $1$ per ogni punto di $\mathbb{R}^2$ e perciò $f(x,y)=1$ rappresenta un piano parallelo al piano $xy$ e passante per il punto $(0,0,1)$.
Similmente, $z=f(x,y)=x$ lo puoi pensare così: traccia un sistema di riferimento tridimensionale $Oxyz$ (con $O$ intendo l'origine del sistema di riferimento) e concentrati sugli assi $x$ e $z$. Dato che $z=x$, allora facilmente ottieni la bisettrice del primo e terzo quadrante sul piano $Oxz$; ora, dato che $y$ non ha vincoli (perché non compare nell'equazione di del piano), significa che i punti trovati vanno bene qualsiasi sia la $y$ scelta e perciò ottieni il grafico di $f$ (che è un piano passante per l'origine) considerando tutti i punti trovati sulla bisettrice $z_0=x_0$ del tipo $(x_0,y,z_0)$ pensando $y \in \mathbb{R}$ libera di variare.
Questo può aiutare a visualizzare cosa intendo (l'asse rosso sono le $x$, il verde le $y$ e il blu le $z$; a sinistra hai un riquadro, tramite il quale puoi modificare il membro di destra della funzione. Scrivendo $1$ e $x$ puoi visualizzare alcuni degli esempi che hai riportato e che ho cercato di spiegare a parole prima).
Comunque, l'interpretazione di una funzione di più variabili sta praticamente scritta sull'introduzione di ogni libro di testo di analisi nei primissimi paragrafi di introduzione alle funzioni in più variabili; che testo usi?
Quindi, con quest'idea, la funzione $f(x,y)=1$ significa "quota fissa $1$" e, se il dominio di $f$ è $\mathbb{R}^2$, significa che tale quota è fissa a $1$ per ogni punto di $\mathbb{R}^2$ e perciò $f(x,y)=1$ rappresenta un piano parallelo al piano $xy$ e passante per il punto $(0,0,1)$.
Similmente, $z=f(x,y)=x$ lo puoi pensare così: traccia un sistema di riferimento tridimensionale $Oxyz$ (con $O$ intendo l'origine del sistema di riferimento) e concentrati sugli assi $x$ e $z$. Dato che $z=x$, allora facilmente ottieni la bisettrice del primo e terzo quadrante sul piano $Oxz$; ora, dato che $y$ non ha vincoli (perché non compare nell'equazione di del piano), significa che i punti trovati vanno bene qualsiasi sia la $y$ scelta e perciò ottieni il grafico di $f$ (che è un piano passante per l'origine) considerando tutti i punti trovati sulla bisettrice $z_0=x_0$ del tipo $(x_0,y,z_0)$ pensando $y \in \mathbb{R}$ libera di variare.
Questo può aiutare a visualizzare cosa intendo (l'asse rosso sono le $x$, il verde le $y$ e il blu le $z$; a sinistra hai un riquadro, tramite il quale puoi modificare il membro di destra della funzione. Scrivendo $1$ e $x$ puoi visualizzare alcuni degli esempi che hai riportato e che ho cercato di spiegare a parole prima).
Comunque, l'interpretazione di una funzione di più variabili sta praticamente scritta sull'introduzione di ogni libro di testo di analisi nei primissimi paragrafi di introduzione alle funzioni in più variabili; che testo usi?
Grazie Mephlip! Analisi 1 della Zanichelli e altri pdf trovati in rete.
Penso di aver capito: la curva di livello
$f(x,y)=1$ corrisponde al piano parallelo al piano $xy$ e passante per il punto $(0,0,1)$ dove $1$ è la quota.
Mentre la curva di livello $f(x,y)=x$ corrisponde al piano inclinato, secondo la bisettrice del primo e terzo quadrante, passante per il punto $(0,0,x)$ dove $x$ è la quota.
Penso di aver capito: la curva di livello
$f(x,y)=1$ corrisponde al piano parallelo al piano $xy$ e passante per il punto $(0,0,1)$ dove $1$ è la quota.
Mentre la curva di livello $f(x,y)=x$ corrisponde al piano inclinato, secondo la bisettrice del primo e terzo quadrante, passante per il punto $(0,0,x)$ dove $x$ è la quota.
"Alin":
... la curva di livello ...
Veramente, le curve di livello, ammesso e non concesso che esistano, essendo contenute nel dominio, andrebbero disegnate nel piano xy.
Questo mi sfugge, ma da qualche parte ho letto che i piani vengono chiamati anche curve di livello.
Sinceramente non so. Grazie
Sinceramente non so. Grazie
Ciao milos144,
Ha ragione Sergeant Elias: le curve di livello sono appunto curve (come d'altronde dice la denominazione stessa) che non sono altro che la proiezione sul piano $xy$ delle curve che si ottengono facendo intersecare la funzione $z = f(x, y) $ da piani orizzontali di equazione $z = c $, ove $c$ è una costante.
Ha ragione Sergeant Elias: le curve di livello sono appunto curve (come d'altronde dice la denominazione stessa) che non sono altro che la proiezione sul piano $xy$ delle curve che si ottengono facendo intersecare la funzione $z = f(x, y) $ da piani orizzontali di equazione $z = c $, ove $c$ è una costante.
Scusate, ma ho un dubbio: noi abbiamo quindi 2 funzioni:
$f(x,y)=1$
$f(x,y)=x$
Premesso che a queste 2 funzioni posso associare una relazione di equivalenza, da cosa possono essere rappresentati
i quozienti? Se chiamo la relazione associata a $f(x,y)=1$ per esempio $E$,
e fisso una coppia $(a,b) in RR^2$, la classe di equivalenza cui appartiene $(a,b)$ sarà formata da $[a,b]_(E)={(x,y) in RR^2 | f(x,y)= f(a,b)}$. Le classi di equivalenza allora ,geometricamente, sono infinite e sono rappresentate dalle proiezioni dei singoli punti o abbiamo una sola classe di equivalenza rappresentata dalla proiezione del piano con quota uguale a $1$
Grazie
$f(x,y)=1$
$f(x,y)=x$
Premesso che a queste 2 funzioni posso associare una relazione di equivalenza, da cosa possono essere rappresentati
i quozienti? Se chiamo la relazione associata a $f(x,y)=1$ per esempio $E$,
e fisso una coppia $(a,b) in RR^2$, la classe di equivalenza cui appartiene $(a,b)$ sarà formata da $[a,b]_(E)={(x,y) in RR^2 | f(x,y)= f(a,b)}$. Le classi di equivalenza allora ,geometricamente, sono infinite e sono rappresentate dalle proiezioni dei singoli punti o abbiamo una sola classe di equivalenza rappresentata dalla proiezione del piano con quota uguale a $1$
Grazie
La classe di equivalenza può essere stabilita da qualsiasi proiezione (perpendicolare o meno) fra un piano e l'altro. Sarà sempre una relazione biunivoca.
Non ho capito molto! Mi stai dicendo che esiste una sola classe di equivalenza e che questa può essere vista come la proiezione di un piano? È come verrebbe partizionano $RR^2$ in classi di equivalenza.
"Alin":
Mi stai dicendo che esiste una sola classe di equivalenza e che questa può essere vista come la proiezione di un piano?
No, sto dicendo che sono due piani di $RR^3$
Sono due oggetti identici a meno di simmetrie.
Per stabilire che sono lo stesso oggetto si può creare una funzione (una proiezione) che prende ogni singolo punto di un piano e lo manda nell'altro e viceversa. Una relazione di equivalenza biettiva.
I due piani quindi appartengono alla medesima classe.
Se preferisci puoi proiettare entrambi i piani sul piano XY, ovvero z=0.
Si, questo mi è chiaro, ma da chi sono rappresentate le classi di equivalenza? Dai singoli punti o c'è una sola classe di equivalenza chè è il piano stesso?
Grazie
Grazie
Dici che ti è chiaro e poi hai un dubbio del genere?
Una classe di equivalenza la crei fra cosa? Punti o insiemi di punti?
Facciamo così. Hai un bel foglio di carta su cui disegni gli assi cartesiani. E' un piano e rappresenta $RR^2$
Ora lo sollevi. E ancora un piano? Si o no?
Poi lo ruoti: è ancora un piano? Si o no?
Puoi stabilire una classe di equivalenza fra il piano originario usando una traslazione/rotazione?
Una classe di equivalenza la crei fra cosa? Punti o insiemi di punti?
Facciamo così. Hai un bel foglio di carta su cui disegni gli assi cartesiani. E' un piano e rappresenta $RR^2$
Ora lo sollevi. E ancora un piano? Si o no?
Poi lo ruoti: è ancora un piano? Si o no?
Puoi stabilire una classe di equivalenza fra il piano originario usando una traslazione/rotazione?
Grazie per i suggerimenti!. Secondo me è cosi:
noi abbiamo 2 funzioni:
$f(x,y)=1 $
$f(x,y)=x $
Premesso che a queste 2 funzioni posso associare una relazione di equivalenza, da cosa possono essere rappresentati
i quozienti?
Se chiamo la relazione associata a $f(x,y)=1$ per esempio $E$,
e fisso una coppia $(a,b)∈R^2$, la classe di equivalenza cui appartiene $(a,b)$ sarà formata da
$[a,b]_E={(x,y)∈R^2∣f(x,y)=f(a,b)}$.
Se chiamo invece la relazione associata a $f(x,y)=x$ per esempio $T$,
e fisso una coppia $(a_1,b_1)∈R^2$, la classe di equivalenza cui appartiene $(a_1,b_1)$ sarà formata da
$[a_1,b_1]_T={(x,y)∈R^2∣f(x,y)=f(a_1,b_1)}$. Le classi di equivalenza allora da chi sono rappresentate?
Data $f(x,y)=1 $, tutti punti del piano $XY$ hanno come immagine $1$
Data $f(x,y)=x $ tutti punti del piano $XY$ hanno come immagine $x$
Nel primo caso avremo una sola classe di equivalenza, cioè la $[a,b]_E$ è individuata dalla distanza tra
un suo punto qualsiasi e il piano $X'Y '$ parallelo a $XY$. In particolare l'insieme quoziente $RR^2//E={ [a,b]_E }$.
Nel secondo caso avremo, infinite classi di equivalenza, cioè ogni classe di equivalenza è individuata da una distanza tra
un suo punto qualsiasi e il piano $X'Y'$ non parallelo al piano $XY$. In questo caso l'insieme quoziente $RR^2//T$
è in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri reali.
noi abbiamo 2 funzioni:
$f(x,y)=1 $
$f(x,y)=x $
Premesso che a queste 2 funzioni posso associare una relazione di equivalenza, da cosa possono essere rappresentati
i quozienti?
Se chiamo la relazione associata a $f(x,y)=1$ per esempio $E$,
e fisso una coppia $(a,b)∈R^2$, la classe di equivalenza cui appartiene $(a,b)$ sarà formata da
$[a,b]_E={(x,y)∈R^2∣f(x,y)=f(a,b)}$.
Se chiamo invece la relazione associata a $f(x,y)=x$ per esempio $T$,
e fisso una coppia $(a_1,b_1)∈R^2$, la classe di equivalenza cui appartiene $(a_1,b_1)$ sarà formata da
$[a_1,b_1]_T={(x,y)∈R^2∣f(x,y)=f(a_1,b_1)}$. Le classi di equivalenza allora da chi sono rappresentate?
Data $f(x,y)=1 $, tutti punti del piano $XY$ hanno come immagine $1$
Data $f(x,y)=x $ tutti punti del piano $XY$ hanno come immagine $x$
Nel primo caso avremo una sola classe di equivalenza, cioè la $[a,b]_E$ è individuata dalla distanza tra
un suo punto qualsiasi e il piano $X'Y '$ parallelo a $XY$. In particolare l'insieme quoziente $RR^2//E={ [a,b]_E }$.
Nel secondo caso avremo, infinite classi di equivalenza, cioè ogni classe di equivalenza è individuata da una distanza tra
un suo punto qualsiasi e il piano $X'Y'$ non parallelo al piano $XY$. In questo caso l'insieme quoziente $RR^2//T$
è in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri reali.
Nel primo caso il quoziente é ridotto a un solo elemento
"Alin":
Premesso che a queste 2 funzioni posso associare una relazione di equivalenza, da cosa possono essere rappresentati
i quozienti?
Scusami!!!!
Avevo letto male perchè sei andato a capo. Pensavo chiedessi solo la relazione fra i due piani!
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