Funzionali lineari continui
No riesco a comprendere bene come fare a dimostrare che un funzionale lineare \(\displaystyle T:X\rightarrow \Re \) (dove \(\displaystyle X \) è uno spazio vettoriale normato reale) è continuo su \(\displaystyle X \). Devo dimostrare che \(\displaystyle \sup_{x\epsilon X, x \neq 0} \frac{|Tx|}{||x||_{X}} < \infty\) vero?
Il problema è che \(\displaystyle |Tx| \) è praticamente sempre finito negli esercizi, devo quindi controllare che non ci sia qualche \(\displaystyle x \) per la quale \(\displaystyle ||x||_{X}=0 \)?
Ad esempio, il funzionale \(\displaystyle Tf=\int_{-2}^{0}f(t)dt \) su \(\displaystyle L^{2}[-2,2] \) è lineare e continuo?
Grazie in anticipo dell'aiuto!
Il problema è che \(\displaystyle |Tx| \) è praticamente sempre finito negli esercizi, devo quindi controllare che non ci sia qualche \(\displaystyle x \) per la quale \(\displaystyle ||x||_{X}=0 \)?
Ad esempio, il funzionale \(\displaystyle Tf=\int_{-2}^{0}f(t)dt \) su \(\displaystyle L^{2}[-2,2] \) è lineare e continuo?
Grazie in anticipo dell'aiuto!
Risposte
Beh, la linearità va verificata senz'altro; poi va verificata la limitatezza, i.e. la condizione che citi.
Tuttavia, di solito è molto più immediato far vedere che vale una maggiorazione del tipo:
\[
\tag{L}
|Tf|\leq C\ \| f\|_X
\]
per ogni \(f\in X\), con \(C\geq 0\) opportuna costante indipendente da \(f\).
Quando si opera in spazi \(L^p\), per provare una disuguaglianza del tipo (L) bisogna usare opportunamente la disuguaglianza di Hölder (o quella di Cauchy-Schwarz, nel caso di \(L^2\)).
Prova un po'.
Tuttavia, di solito è molto più immediato far vedere che vale una maggiorazione del tipo:
\[
\tag{L}
|Tf|\leq C\ \| f\|_X
\]
per ogni \(f\in X\), con \(C\geq 0\) opportuna costante indipendente da \(f\).
Quando si opera in spazi \(L^p\), per provare una disuguaglianza del tipo (L) bisogna usare opportunamente la disuguaglianza di Hölder (o quella di Cauchy-Schwarz, nel caso di \(L^2\)).
Prova un po'.
Ma allora in questo esempio la disuguaglianza: \(\displaystyle |\int_{-2}^{0}f(t)dt| \leq \int_{-2}^{0}|f(t)|dt \leq (\int_{-2}^{2}|f(t)|^{2}dt)^{\frac{1}{2}}\) vale sempre no?
Non capisco perchè dici che bisogna usare la disuguaglianza di Holder o di Cauchy-Schwarz visto che la prima riguarda un prodotto di due funzioni di spazi L coniugati mentre la seconda riguarda il prodotto scalare, o sbaglio?
Non capisco perchè dici che bisogna usare la disuguaglianza di Holder o di Cauchy-Schwarz visto che la prima riguarda un prodotto di due funzioni di spazi L coniugati mentre la seconda riguarda il prodotto scalare, o sbaglio?
"Doblone":
Ma allora in questo esempio la disuguaglianza: \(\displaystyle |\int_{-2}^{0}f(t)dt| \leq \int_{-2}^{0}|f(t)|dt \leq (\int_{-2}^{2}|f(t)|^{2}dt)^{\frac{1}{2}}\) vale sempre no?
Ma non mi pare... Prendi ad esempio:
\[
f(x)=\begin{cases} x &\text{, se } -2\leq x\leq 0 \\ 0 &\text{, se } 0
\]
e calcola le quantità:
\[
\| f\|_1 = \int_{-2}^2 |f|\ \text{d} x \qquad \text{e}\qquad \| f\|_2 =\sqrt{ \int_{-2}^2 f^2\ \text{d} x}\; \ldots
\]
"Doblone":
Non capisco perchè dici che bisogna usare la disuguaglianza di Holder o di Cauchy-Schwarz visto che la prima riguarda un prodotto di due funzioni di spazi L coniugati mentre la seconda riguarda il prodotto scalare, o sbaglio?
E perchè? Sarebbero cose diverse?
Sai com'è definito il prodotto scalare in $L^2$? E chi è l'esponente coniugato di $p=2$?
Prova ad aprire il Rudin, Real and Complex Analysis - third edition, a pagina 63, primo rigo dal basso.
E perchè? Sarebbero cose diverse?
Sai com'è definito il prodotto scalare in L2? E chi è l'esponente coniugato di p=2?
Sì certo certo hai senza dubbio ragione mi chiedevo solo se servissero in questo esempio specifico. Era una domanda per capire non certo per insinuare che è sbagliato quello che hai detto.
Per quanto riguarda le norme hai ragione devo prendere un po' confidenza con la radice fuori dal segno di integrale. Vale allora l'uguaglianza:
\(\displaystyle \int_{-2}^{0}|f(t)|dt \leq (2 - (-2))^{2}||f(t)||_{L^{2}[-2,2]} \) e quindi il funzionale è continuo?
In generale, so che vale la disuguaglianza: \(\displaystyle \int_{a}^{b}|f(t)|dt \leq ||f||_{C^{0}[a,b]}(b-a) \) ma come fare a maggiorare un integrale con un altro integrale?
Sempre grazie molte per il prezioso aiuto!
Certo il funzionale assegnato è (oltre che lineare, come si vede ad occhio nudo) continuissimo...
Infatti, notato che:
\[
Tf = \int_{-2}^2 g(x)\ f(x)\ \text{d} x
\]
con:
\[
g(x):=\chi_{[-2,0]}(x)=\begin{cases} 1 &\text{, se } -2\leq x\leq 0 \\ 0 &\text{, se } 0
e che $g\in L^2(-2,2)$, puoi usare la disuguaglianza triangolare per gli integrali (i.e., $|\int_{-2}^2 u|\leq \int_{-2}^2 |u|$) e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per ottenere:
\[
\begin{split}
|Tf| &= \left| \int_{-2}^2 g(x)\ f(x)\ \text{d} x \right|\\
&\stackrel{\text{triang}}{\leq} \int_{-2}^2 |g(x)\ f(x)|\ \text{d} x\\
&\stackrel{\text{C-S}}{\leq} \| g\|_{L^2(-2,2)}\ \| f\|_{L^2(-2,2)}\\
&= \sqrt{2}\ \| f\|_{L^2(-2,2)}\; ,
\end{split}
\]
che è una disuguaglianza nella forma \(|Tf|\leq C\ \| f\|_X\) con $C\geq 0$ indipendente da $f$, come volevi.
Questo metodo, tuttavia, è applicabile molto più in generale.
Invero, se è assegnato su $L^p(a,b)$ il funzionale:
\[
Tf:=\int_a^b g(x)\ f(x)\ \text{d} x
\]
e se \(g\in L^{p^\prime}(a,b)\) (qui \(p^\prime\) è il coniugato di $p$, i.e. \(p^\prime =p/(p-1)\)), allora per la disuguaglianza di Hölder si ha:
\[
|Tf| \stackrel{\text{triang}}{\leq} \int_a^b |g(x)\ f(x)|\ \text{d} x \stackrel{\text{H}}{\leq} \| g\|_{L^{p^\prime} (a,b)}\ \| f\|_{L^p(a,b)}
\]
con \(C=\| g\|_{L^{p^\prime} (a,b)}\) indipendente da $f$; pertanto $T$ è continuo (e pure lineare, ovviamente).
Infatti, notato che:
\[
Tf = \int_{-2}^2 g(x)\ f(x)\ \text{d} x
\]
con:
\[
g(x):=\chi_{[-2,0]}(x)=\begin{cases} 1 &\text{, se } -2\leq x\leq 0 \\ 0 &\text{, se } 0
e che $g\in L^2(-2,2)$, puoi usare la disuguaglianza triangolare per gli integrali (i.e., $|\int_{-2}^2 u|\leq \int_{-2}^2 |u|$) e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per ottenere:
\[
\begin{split}
|Tf| &= \left| \int_{-2}^2 g(x)\ f(x)\ \text{d} x \right|\\
&\stackrel{\text{triang}}{\leq} \int_{-2}^2 |g(x)\ f(x)|\ \text{d} x\\
&\stackrel{\text{C-S}}{\leq} \| g\|_{L^2(-2,2)}\ \| f\|_{L^2(-2,2)}\\
&= \sqrt{2}\ \| f\|_{L^2(-2,2)}\; ,
\end{split}
\]
che è una disuguaglianza nella forma \(|Tf|\leq C\ \| f\|_X\) con $C\geq 0$ indipendente da $f$, come volevi.
Questo metodo, tuttavia, è applicabile molto più in generale.
Invero, se è assegnato su $L^p(a,b)$ il funzionale:
\[
Tf:=\int_a^b g(x)\ f(x)\ \text{d} x
\]
e se \(g\in L^{p^\prime}(a,b)\) (qui \(p^\prime\) è il coniugato di $p$, i.e. \(p^\prime =p/(p-1)\)), allora per la disuguaglianza di Hölder si ha:
\[
|Tf| \stackrel{\text{triang}}{\leq} \int_a^b |g(x)\ f(x)|\ \text{d} x \stackrel{\text{H}}{\leq} \| g\|_{L^{p^\prime} (a,b)}\ \| f\|_{L^p(a,b)}
\]
con \(C=\| g\|_{L^{p^\prime} (a,b)}\) indipendente da $f$; pertanto $T$ è continuo (e pure lineare, ovviamente).
Wow! Ora ho capito! Grazie molte!!!!! 
Non avevo mai cambiato gli estremi di integrazione grazie ad una funzione \(\displaystyle g(x) \) come hai fatto tu.
Non avevo mai cambiato gli estremi di integrazione grazie ad una funzione \(\displaystyle g(x) \) come hai fatto tu.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo