Funzionale lineare in spazi di Lebesgue
Data $g: RR \to RR$ lipschitziana t.c. se $f_n \to f$ debole in $L^p$ allora $g(f_n) \to g(f)$ debole $hArr$ g è lineare.
Ho provato ad usare (come suggerito dal prof) il seguente risultato: se $f_n(x)=f(nx)$ dove f è periodica allora $f_n$ converge debole alla media di f.
Ottengo $1/{m(K)} \int_K g(f) = g( \int_K 1/{m(K)} f)$ (ovvero l'uguaglianza delle medie) con m intendo la misura di Lebesgue e K un compatto dei reali, ad esempio un intervallo. Ma non riesco a concludere la linearità.
ps. per linearità di g intendo come funzionale di $L^p$.
Ho provato ad usare (come suggerito dal prof) il seguente risultato: se $f_n(x)=f(nx)$ dove f è periodica allora $f_n$ converge debole alla media di f.
Ottengo $1/{m(K)} \int_K g(f) = g( \int_K 1/{m(K)} f)$ (ovvero l'uguaglianza delle medie) con m intendo la misura di Lebesgue e K un compatto dei reali, ad esempio un intervallo. Ma non riesco a concludere la linearità.
ps. per linearità di g intendo come funzionale di $L^p$.
Risposte
Da quel che ricordo, per l'implicazione \(\displaystyle\Leftarrow\) serve la definizione di convergenza debole!
No, per linearità di $g$ intendi che $g$ è una funzione affine, ovvero che
\[
g(x)=ax+b\]
per qualche \(a, b\in\mathbb{R}\). Questo è quello che devi dimostrare. (Come si faccia, non lo so.)
\[
g(x)=ax+b\]
per qualche \(a, b\in\mathbb{R}\). Questo è quello che devi dimostrare. (Come si faccia, non lo so.)
"mr Blonde":
Ottengo $1/{m(K)} \int_K g(f) = g( \int_K 1/{m(K)} f)$
Partendo da questa relazione puoi dimostrare che
\[
(1)\qquad\qquad
g((1-\lambda)a + \lambda b) = (1-\lambda) g(a) + \lambda g(b),\qquad
\forall a,b\in\mathbb{R},\ \forall \lambda\in [0,1].
\]
A sua volta, questo implica che \(g\) è affine (è contemporaneamente concava e convessa).
In spoiler un suggerimento sulla scelta della \(f\):
"dissonance":
No, per linearità di $g$ intendi che $g$ è una funzione affine
L'esercizio non l'ho trovato su un libro quindi non ne sono sicuro ma credo non intendesse una funzione affine. Infatti la stima sulle medie per funzioni affini non vale, ad esempio se $g(x)-=b$, e a meno di errori l'ho ricavata soltanto dalla condizione di convergenza debole.
"Rigel":
In spoiler un suggerimento sulla scelta della \( f \):
In effetti credo di essere stato poco preciso nel testo. La stima sulle medie vale per le funzioni periodiche in K. Comunque questo metodo sembra vincente, forse basta sistemare un po' la funzione.
Grazie molte per le risposte!
Si tratta solo di localizzare gli integrali.
Prendi
\[
f(x) = \begin{cases}
a, &\text{se}\ 0\leq x \leq 1-\lambda,\\
b, &\text{se}\ 1-\lambda < x <1,\\
\end{cases}
\]
ed estendila con periodicità a tutto \(\mathbb{R}\).
Sai già che \(f_n \rightharpoonup \overline{f} = (1-\lambda) a + \lambda b\).
D'altra parte, per ipotesi \(g(f_n) \rightharpoonup g(\overline{f})\); in particolare
\[
(2)\qquad\int_{\mathbb{R}} g(f_n) \varphi \to \int_{\mathbb{R}} g(\overline{f}) \varphi\qquad \forall \varphi\in C_c(\mathbb{R}).
\]
Prendi adesso \(\varphi\) tale che \(\varphi = 1\) in \([0,1]\) e \(\varphi = 0\) fuori da \([-\varepsilon, 1+\varepsilon]\), con \(\varepsilon > 0\).
Hai che
\[
\int_{\mathbb{R}} g(f_n) \varphi = \int_{-\varepsilon}^0 + \int_1^{1+\varepsilon} + \int_0^1.
\]
Poiché \(g\) è lipschitziana (dunque localmente limitata) i primi due integrali li stimi con \(C\varepsilon\), con \(C\) indipendente da \(n\).
L'ultimo integrale lo calcoli esplicitamente:
\[
\int_0^1 g(f_n) \varphi = \int_0^1 g(f(nx))\, dx = n \int_0^n g(f(y))\, dy = \int_0^1 g(f)\,.
\]
Per l'arbitrarietà di \(\varepsilon\), da (2) deduci che
\[
\int_0^1 g(f) = \int_0^1 g(\overline{f}),
\]
cioè la (1).
Prendi
\[
f(x) = \begin{cases}
a, &\text{se}\ 0\leq x \leq 1-\lambda,\\
b, &\text{se}\ 1-\lambda < x <1,\\
\end{cases}
\]
ed estendila con periodicità a tutto \(\mathbb{R}\).
Sai già che \(f_n \rightharpoonup \overline{f} = (1-\lambda) a + \lambda b\).
D'altra parte, per ipotesi \(g(f_n) \rightharpoonup g(\overline{f})\); in particolare
\[
(2)\qquad\int_{\mathbb{R}} g(f_n) \varphi \to \int_{\mathbb{R}} g(\overline{f}) \varphi\qquad \forall \varphi\in C_c(\mathbb{R}).
\]
Prendi adesso \(\varphi\) tale che \(\varphi = 1\) in \([0,1]\) e \(\varphi = 0\) fuori da \([-\varepsilon, 1+\varepsilon]\), con \(\varepsilon > 0\).
Hai che
\[
\int_{\mathbb{R}} g(f_n) \varphi = \int_{-\varepsilon}^0 + \int_1^{1+\varepsilon} + \int_0^1.
\]
Poiché \(g\) è lipschitziana (dunque localmente limitata) i primi due integrali li stimi con \(C\varepsilon\), con \(C\) indipendente da \(n\).
L'ultimo integrale lo calcoli esplicitamente:
\[
\int_0^1 g(f_n) \varphi = \int_0^1 g(f(nx))\, dx = n \int_0^n g(f(y))\, dy = \int_0^1 g(f)\,.
\]
Per l'arbitrarietà di \(\varepsilon\), da (2) deduci che
\[
\int_0^1 g(f) = \int_0^1 g(\overline{f}),
\]
cioè la (1).
Ottimo! Grazie mille! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo