Funzionale lineare e norme
Buongiorno,
quando trovo esercizi del tipo:
" Sia $T$ il seguente funzionale lineare definito su $C^0 ([0,1])$ a valori reali: $T(f) = f(0) + f(1)$. Si dica se il funzionale ha norma finita quando sullo spazio $C^0 ([0,1])$ è assegnata la norma del massimo e la si calcoli. "
mi cadono proprio le braccia...
Qualche suggerimento su come affrontarli?
Grazie
quando trovo esercizi del tipo:
" Sia $T$ il seguente funzionale lineare definito su $C^0 ([0,1])$ a valori reali: $T(f) = f(0) + f(1)$. Si dica se il funzionale ha norma finita quando sullo spazio $C^0 ([0,1])$ è assegnata la norma del massimo e la si calcoli. "
mi cadono proprio le braccia...
Qualche suggerimento su come affrontarli?
Grazie
Risposte
Beh, recuperale da terra, perché è un esercizio standard che più standard non si può.
Prova ad usare la definizione.
Com'è definita la norma di un funzionale?
Per il resto, una buona strategia per questi problemi l'ho illustrata già altrove (ma, ovviamente, adesso non la ritrovo) ed è riassumibile in due/tre punti:
Prova ad usare la definizione.
Com'è definita la norma di un funzionale?
Per il resto, una buona strategia per questi problemi l'ho illustrata già altrove (ma, ovviamente, adesso non la ritrovo) ed è riassumibile in due/tre punti:
- [*:3ip7cpbk] innanzitutto, usare disuguaglianze elementari per ottenere la continuità/limitatezza del funzionale, cioé per dimostrare una disuguaglianza del tipo \(|Tf|\leq C\ \|f\|_{\infty, [0,1]}\) (con \(C\geq 0\) indipendente da \(f\));
[/*:m:3ip7cpbk]
[*:3ip7cpbk] cercare di dimostrare che il valore di \(C\) ottenuto al punto precedente è il valore ottimale della costante, i.e. che \(C\) è la più piccola costante indipendente da \(f\) che si può usare in una disuguaglianza del tipo \(|Tf|\leq c\ \| f\|_{\infty ,[0,1]}\); in tal caso, è facile dimostrare che \(C=\|T\|_*\).[/*:m:3ip7cpbk][/list:u:3ip7cpbk]
vediamo se ho capito...
$x in [0,1]$
scelgo di imporre $||f||_oo = 1$
$|T(f) (x)|=|f(0) + f(1)| <= |f(0) |+| f(1)| <= ||f||_oo + ||f||_oo = 2$
$x in [0,1]$
scelgo di imporre $||f||_oo = 1$
$|T(f) (x)|=|f(0) + f(1)| <= |f(0) |+| f(1)| <= ||f||_oo + ||f||_oo = 2$
Vabbé... E come continui/concludi?
(Immagino ti abbiano definito la norma duale usando il \(\sup\) sotto condizione \(\| f\|_{\infty} =1\), no?)
(Immagino ti abbiano definito la norma duale usando il \(\sup\) sotto condizione \(\| f\|_{\infty} =1\), no?)
partivo con $||T||= Sup ||T(f)||_oo$ sul vincolo $||f||_oo=1$
e $||T(f)||_oo = Sup |T(f)(x)| $ con $x in [0,1]$
.. unendo quanto scritto sopra con il post di prima ottengo
$||T(f)||_oo <= 2$
e $||T(f)||_oo = Sup |T(f)(x)| $ con $x in [0,1]$
.. unendo quanto scritto sopra con il post di prima ottengo
$||T(f)||_oo <= 2$
Bene, così sei sicuro che la norma esiste finita ed hai risposto alla prima parte dell'esercizio.
Ora devi calcolarla, cioé rispèondere al secondo punto di quelli che ho descritto nel mio primo post. Idee?
Ora devi calcolarla, cioé rispèondere al secondo punto di quelli che ho descritto nel mio primo post. Idee?
dammi una dritta... 
sarei tentato di dire che sia $f(0)$ che $f(1)$ sono entrambi $<=1$
quindi $||T(f)||_oo = 2$
$||T||= Sup ||T(F)||_oo$ su vincolo $||f||_oo$ sarà ben = 2
quindi $||T(f)||_oo = 2$
$||T||= Sup ||T(F)||_oo$ su vincolo $||f||_oo$ sarà ben = 2
Allora...
Per fissata \(f\in C([0,1])\) si ha:
\[
|Tf| = \left| f(0) + f(1)\right|\leq \left| f(0)\right| + \left| f(1)\right| \leq \| f\|_\infty + \| f\|_\infty = 2\ \| f\|_\infty
\]
dunque per \(f\neq o\) (qui e nel seguito \(o\) denota la funzione identicamente nulla):
\[
\frac{|Tf|}{\| f\|_\infty} \leq 2
\]
e quindi:
\[
\|T\| = \sup_{f\neq o} \frac{|Tf|}{\| f\|_\infty} \leq 2\; .
\]
L'idea è che \(\| T\|=2\), quindi ora dobbiamo fare in modo di provare l'uguaglianza. Dato che \(\|T\|\) è un \(\sup\), per mostrare l'uguaglianza basta far vedere che tale estremo è raggiunto almeno su una funzione \(u\in C([0,1])\).
Ed infatti, per \(u(x)=1\) in \([0,1]\), si ha:
\[
| Tu| = |u(0)+u(1)| =|1+1|=2=2\ \| u\|_\infty
\]
quindi:
\[
\frac{|Tu|}{\| u\|_\infty} =2
\]
e ciò mostra che:
\[
2=\frac{|Tu|}{\| u\|_\infty} \leq \sup_{f\neq o} \frac{|Tf|}{\| f\|_\infty}\; ,
\]
ossia che \(\| T\|=2\).
Per fissata \(f\in C([0,1])\) si ha:
\[
|Tf| = \left| f(0) + f(1)\right|\leq \left| f(0)\right| + \left| f(1)\right| \leq \| f\|_\infty + \| f\|_\infty = 2\ \| f\|_\infty
\]
dunque per \(f\neq o\) (qui e nel seguito \(o\) denota la funzione identicamente nulla):
\[
\frac{|Tf|}{\| f\|_\infty} \leq 2
\]
e quindi:
\[
\|T\| = \sup_{f\neq o} \frac{|Tf|}{\| f\|_\infty} \leq 2\; .
\]
L'idea è che \(\| T\|=2\), quindi ora dobbiamo fare in modo di provare l'uguaglianza. Dato che \(\|T\|\) è un \(\sup\), per mostrare l'uguaglianza basta far vedere che tale estremo è raggiunto almeno su una funzione \(u\in C([0,1])\).
Ed infatti, per \(u(x)=1\) in \([0,1]\), si ha:
\[
| Tu| = |u(0)+u(1)| =|1+1|=2=2\ \| u\|_\infty
\]
quindi:
\[
\frac{|Tu|}{\| u\|_\infty} =2
\]
e ciò mostra che:
\[
2=\frac{|Tu|}{\| u\|_\infty} \leq \sup_{f\neq o} \frac{|Tf|}{\| f\|_\infty}\; ,
\]
ossia che \(\| T\|=2\).
GRAZIE! Adesso mi è chiaro.
Per vedere se ho capito, ho provato a fare quest'altro esercizio:
Premesse uguali a quelle di cui sopra, Tf = f(0). Dire se il funzionale ha norma finita quando su C0 [0,1] è assegnata la norma L1.
Per vedere se ho capito, ho provato a fare quest'altro esercizio:
Premesse uguali a quelle di cui sopra, Tf = f(0). Dire se il funzionale ha norma finita quando su C0 [0,1] è assegnata la norma L1.
$||T|| = Sup ||T(f)||_oo$ limitato su $||f||_1=1$
$ f(x) = {(0, 1/n < x < 1),(n - xn^2, 0 < x < 1/n):}$
$L^1 = 1/2$
$L^oo = max (|n-xn^2|,|0|)$ che limitatamente a $[0,1]$ vale $n$
Una converge, l'altra tende a $n$.... quindi dico che non è limitata.
$ f(x) = {(0, 1/n < x < 1),(n - xn^2, 0 < x < 1/n):}$
$L^1 = 1/2$
$L^oo = max (|n-xn^2|,|0|)$ che limitatamente a $[0,1]$ vale $n$
Una converge, l'altra tende a $n$.... quindi dico che non è limitata.
"malgracio":
GRAZIE! Adesso mi è chiaro.
Prego.
"malgracio":
Per vedere se ho capito, ho provato a fare quest'altro esercizio:
Premesse uguali a quelle di cui sopra, Tf = f(0). Dire se il funzionale ha norma finita quando su C0 [0,1] è assegnata la norma L1.
La risposta, evidentemente è no ed il tuo svolgimento (seppure scarno dal punto di vista linguistico) è giusto. Infatti, per dimostrare che \(T\) non è limitato basta determinare una successione di funzioni \(f_n\in C([0,1])\) tali che \(\| f_n\|_{1,[0,1]}=1\) e \(\lim_n Tf_n =\infty\).
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