Funzionale di Minkowski
img Ho un problema con la dimostrazione di una proprietà: Suppose \(A\) is a convex absorbing set in a vector space \(X\). [...] if \(t=\mu_{A}(x)+\epsilon\) and \(s=\mu_{A}(y)+\epsilon\), for some \(\epsilon >0\), (!)then \(x/t\) and \(y/s\) are in \(A\). Vale a dire che \(x\in tA\) ed \(y \in sA\). Con \(x \in X\) sia \(K\) l'insieme delle \(t\) tali che \(x\in tA\) allora \(\mu_{A}(x):=\inf K\).
Quello che non capisco è come faccia a trovare \(t\) ed \(s\). So ad esempio che per ogni \(\delta>0\) esiste \(\tilde{t}\in K\) tale che \(\mu_{A}(x)\leq \tilde{t}<\mu_{A}(x)+\delta\). Quindi supponendo che sia \(\tilde{t}\neq\mu_{A}(x)\) e ancora nell'intervallo, posso scrivere \(t=\mu_{A}(x)+\epsilon\) per un qualche \(\epsilon>0\). Oppure segue direttamente dal fatto che \(\mu_{A}(x)\) è un minorante. Il libro però trova una \(\epsilon\) che va bene per entrambi i punti.
Quello che non capisco è come faccia a trovare \(t\) ed \(s\). So ad esempio che per ogni \(\delta>0\) esiste \(\tilde{t}\in K\) tale che \(\mu_{A}(x)\leq \tilde{t}<\mu_{A}(x)+\delta\). Quindi supponendo che sia \(\tilde{t}\neq\mu_{A}(x)\) e ancora nell'intervallo, posso scrivere \(t=\mu_{A}(x)+\epsilon\) per un qualche \(\epsilon>0\). Oppure segue direttamente dal fatto che \(\mu_{A}(x)\) è un minorante. Il libro però trova una \(\epsilon\) che va bene per entrambi i punti.
Risposte
Buh senti non ho capito granché della domanda (chi è \(\mu_A(x)\)?), comunque in genere quando uno dice \(\varepsilon\) intende "un numero piccolo che può essere liberamente sostituito da uno più piccolo". Quindi se uno ha \(\varepsilon_1\) che va bene per \(t\) e \(\varepsilon_2\) che va bene per \(s\) allora \(\varepsilon=\min(\varepsilon_1, \varepsilon_2)\) va bene per tutti e due.
Un insieme \(A\subset X\) è convesso se \(tA+(1-t)A\subset A\) con \(0\leq t\leq 1\). L'insieme convesso \(A\) è detto assorbente se dato \(x \in X\) esiste \(t=t(x)>0\) tale che \(x \in tA\). Possiamo allora definirvi il funzionale di Minkowski: \[\
\mu_{A}(x)=\inf\{t>0:x \in t A\}
\]
Nella teorema considerato, prende un punto \(x\) ed un punto \(y \in X\) con i loro valori \(\mu_{A}(x),\mu_{A}(y)\). Riesci a giustificare il passaggio evidenziato in OP? L'unica cosa che ho pensato è che in genere quando si ha \(\inf a\) con \(a\) insieme generico, esiste \(x \in a\) tale che \(\inf a\leq x <\inf a+\epsilon\). E' importante che tale \(x\) appartenga all'insieme di cui cerco l'\(\inf\).
\mu_{A}(x)=\inf\{t>0:x \in t A\}
\]
Nella teorema considerato, prende un punto \(x\) ed un punto \(y \in X\) con i loro valori \(\mu_{A}(x),\mu_{A}(y)\). Riesci a giustificare il passaggio evidenziato in OP? L'unica cosa che ho pensato è che in genere quando si ha \(\inf a\) con \(a\) insieme generico, esiste \(x \in a\) tale che \(\inf a\leq x <\inf a+\epsilon\). E' importante che tale \(x\) appartenga all'insieme di cui cerco l'\(\inf\).
Si, mi pare che hai pensato bene.
Però come ho scritto in OP non basta. Consideriamo \(K(x)=\{t:x \in tA\}\). Voglio mostrare che se \(t_{1}\in K(x)\) allora anche \(t_{1}\leq t_{2}\in K(x)\). \(A\) è assorbente quindi dato \(0 \in X\) esiste \(t\) tale che \(0 \in tA\) quindi \(0 \in A\). Mostriamo \(t_{1}A\subset t_{2}A\): significa \(t_{1}x=t_{2}\tilde{x}\) con un qualche \(\tilde{x}\in A\). Posso riscrivere \(\tilde{x}=xt_{1}/t_{2}\) con \(0\leq t_{1}/t_{2}=t\leq 1\).
Siccome \(A\) è convesso \(\delta A+(1-\delta)A\subset A\) con \(0\leq \delta \leq 1\). Posto \(A={0}\) dove compare per la seconda volta nella formula precedente, ho \(\delta A\subset A\) quindi \(tA\subset A\) e \(t_{1}A\subset t_{2}A\) è dimostrato. Siccome non necessariamente \(\mu_{A}(x)\in K(x)\) uso che per ogni \(\epsilon>0\) esiste \(\tilde{t}\in K(x)\) t.c \(\mu_{A}(x)\leq \tilde{t}< \mu_{A}(x)+\epsilon\)...
...e combinando con il risultato precedente si ottiene \(\forall \epsilon >0\) vale \(t=\mu_{A}(x)+\epsilon \in K(x)\). Il resto è facile, la somma convessa appartiene ad \(A\) perché convesso e la disuguaglianza segue dalla definizione di funzionale di Minkowski. Penso di avere risolto.
Siccome \(A\) è convesso \(\delta A+(1-\delta)A\subset A\) con \(0\leq \delta \leq 1\). Posto \(A={0}\) dove compare per la seconda volta nella formula precedente, ho \(\delta A\subset A\) quindi \(tA\subset A\) e \(t_{1}A\subset t_{2}A\) è dimostrato. Siccome non necessariamente \(\mu_{A}(x)\in K(x)\) uso che per ogni \(\epsilon>0\) esiste \(\tilde{t}\in K(x)\) t.c \(\mu_{A}(x)\leq \tilde{t}< \mu_{A}(x)+\epsilon\)...
...e combinando con il risultato precedente si ottiene \(\forall \epsilon >0\) vale \(t=\mu_{A}(x)+\epsilon \in K(x)\). Il resto è facile, la somma convessa appartiene ad \(A\) perché convesso e la disuguaglianza segue dalla definizione di funzionale di Minkowski. Penso di avere risolto.