Funzionale
qualcuno sa che cos'è un funzionale?
Risposte
Penso che questo sia inerente: https://www.matematicamente.it/storia/an ... onale.html
Non sono sicuro. Chiedo conferma.
Ciao, Ermanno
Non sono sicuro. Chiedo conferma.
Ciao, Ermanno
non so darti una definizione precisa, però per esempio le distribuzioni (non so se le hai fatte) sono dei funzionali, la cui azione viene identificata "vedendo" la loro azione su particolari funzioni test (c infinito a spt compatto).
l'azione poi sarebbe il risultato del prodotto interno allo spazio in Lp dove ti metti...
l'azione poi sarebbe il risultato del prodotto interno allo spazio in Lp dove ti metti...
Effettivamente l'analisi funzionale tratta anche dei funzionali...
Cmq si definisce funzionale una qualunque applicazione definita da uno spazio vettoriale su un campo, es da uno spazio su R, oppure per fare un esempio più "pratico", il lavoro è un funzionale definito dallo spazio euclideo in cui avviene l'azione (precisamente lo spazio dei vettori rappresentanti gli spostamenti in funzione del tempo e le sue derivate seconde) su R, oppure l'energia cinetica, l'energia potenziale etc...
Cmq si definisce funzionale una qualunque applicazione definita da uno spazio vettoriale su un campo, es da uno spazio su R, oppure per fare un esempio più "pratico", il lavoro è un funzionale definito dallo spazio euclideo in cui avviene l'azione (precisamente lo spazio dei vettori rappresentanti gli spostamenti in funzione del tempo e le sue derivate seconde) su R, oppure l'energia cinetica, l'energia potenziale etc...
visto che si è parlato di analisi funzionale vorrei citare (a titolo divulgativo) un esempio ormai classico di un suo utilisso: la teoria degli orbitali...
gli orbitali sono le funzioni soluzione dell'eq di schroedinger, che è una eq alle derivate parziali seconde, tali sol sono infinite e costituiscono uno spazio vettoriale (capite perchè parlo di analisi funzionale??...), solo alcune di esse hanno significato fisico e sono proprio autovettori (autofunzioni) di tale spazio, definite univocamente dagli rispettivi autovalori, che altro non sono che i noti numeri quantici principali, secondari e magnetici, inoltre devono sottostare alla condizione ortogonalità, ossia il prodotto interno tra due di esse deve essere nullo, e queste sono esattamente le stesse proprietà definibili sugli spazi di vettori veri e propri!!!!!
Precisamente sono spazi di Hilbert, dotati di norma L^2, ossia sono funzioni a quadrato sommabile secondo Lebesgue, e di una metrica....
il prodotto interno è l'integrale sul volume del prodotto fra le funzioni...etc etc
Inoltre quando due atomi danno legame covalente (scarsa differenza di elettronegatività tra le speci atomiche coinvolte, motivo per cui è permessa la sovrapposizione degli orbitali) gli orbitali molecolari che si formano (che descrivono la densità di probabilità degli elettroni di legame) si ottengono mediante combinazione lineare delle funzioni degli orbitali di valenza delle speci formanti il legame....
gli orbitali sono le funzioni soluzione dell'eq di schroedinger, che è una eq alle derivate parziali seconde, tali sol sono infinite e costituiscono uno spazio vettoriale (capite perchè parlo di analisi funzionale??...), solo alcune di esse hanno significato fisico e sono proprio autovettori (autofunzioni) di tale spazio, definite univocamente dagli rispettivi autovalori, che altro non sono che i noti numeri quantici principali, secondari e magnetici, inoltre devono sottostare alla condizione ortogonalità, ossia il prodotto interno tra due di esse deve essere nullo, e queste sono esattamente le stesse proprietà definibili sugli spazi di vettori veri e propri!!!!!
Precisamente sono spazi di Hilbert, dotati di norma L^2, ossia sono funzioni a quadrato sommabile secondo Lebesgue, e di una metrica....
il prodotto interno è l'integrale sul volume del prodotto fra le funzioni...etc etc
Inoltre quando due atomi danno legame covalente (scarsa differenza di elettronegatività tra le speci atomiche coinvolte, motivo per cui è permessa la sovrapposizione degli orbitali) gli orbitali molecolari che si formano (che descrivono la densità di probabilità degli elettroni di legame) si ottengono mediante combinazione lineare delle funzioni degli orbitali di valenza delle speci formanti il legame....
Un funzionale e', per definizione, un'applicazione da X in R, con X insieme qualunque, R insieme dei numeri reali.
Luca.
Luca.
Poichè uno spazio vettoriale è sempre costituito da un insieme di elementi detti vettori dello spazio, mi sembra che definire in tale modo un funzionale sia solo leggermente meno generale della tua definizione, o sbaglio?
E' sicuramente piu' forte richiedere X spazio vettoriale. Mi sono permesso di mettere in evidenza la definizione piu' generale possibile, perche' i funzionali "nascono per essere minimizzati"; ovvero sono le applicazioni che compaiono nei problemi di minimo (per questo motivo il codominio e' necessariamente R). Quindi non si necessita di alcuna struttura su X.
Luca.
Luca.
Ok, grazie per avermi dato una prospettiva più generale dei funzionali, a proposito, se Mn(X) è l'insieme delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti in X, il determinante di tali matrice,det:Mn(X)->X è un funzionale?
E se sì, allora quando opero su superfici parametrizzate o con cambi di variabile in R^n il modulo del det dello jacobiano è un funzionale?
E il flusso di un campo vettoriale attravero una superficie chiusa o del rotore attraverso una superficie con bordo sono funzionali?
e la divergenza è un funzionale?
Se sì allora il teorema di Gauss ed il teorema di strokes sono equivalenze tra funzionali?
Sono un mare di domande, ma mi stanno iniziando a venire chiare tante idee...
E se sì, allora quando opero su superfici parametrizzate o con cambi di variabile in R^n il modulo del det dello jacobiano è un funzionale?
E il flusso di un campo vettoriale attravero una superficie chiusa o del rotore attraverso una superficie con bordo sono funzionali?
e la divergenza è un funzionale?
Se sì allora il teorema di Gauss ed il teorema di strokes sono equivalenze tra funzionali?
Sono un mare di domande, ma mi stanno iniziando a venire chiare tante idee...
Do la risposta si' a tutte le tue domande. E' molto profonda l'intuizione che hai avuto sul pensare l'equivalenza di due funzionali riferiti ai Teoremi di Gauss e Stokes.
Infatti, cosi' come si fa per le funzioni (diventano funzionali, che sono le distribuzioni), le superfici diventano funzionali (in un modo un filino piu' complicato)che si chiamano "correnti"; la Teoria delle correnti (branca della Teoria geometrica della misura) e' recentissima ed ha permesso di risolvere, ad esempio, in forma debole il famoso problema di Plateau delle superfici minime.
Luca.
Infatti, cosi' come si fa per le funzioni (diventano funzionali, che sono le distribuzioni), le superfici diventano funzionali (in un modo un filino piu' complicato)che si chiamano "correnti"; la Teoria delle correnti (branca della Teoria geometrica della misura) e' recentissima ed ha permesso di risolvere, ad esempio, in forma debole il famoso problema di Plateau delle superfici minime.
Luca.
a questo punto chiudo gli occhi e faccio un tuffo, spero di atterrare in quello che se non ricordo male è uno dei tuoi campi:La lagrangiana o l'hamiltoniana di un sistema è un funzionale?
di esse si occupa il calcolo variazionale vero?
di esse si occupa il calcolo variazionale vero?
vedo che possiedi con giusta fierezza il numero 5 di Erdos!!!!
Figo!
perchè gli ingegneri non hanno queste cose? manca la fantasia....
stupidate a parte, tu lo hai mai conosciuto direttamente?
Figo!
perchè gli ingegneri non hanno queste cose? manca la fantasia....
stupidate a parte, tu lo hai mai conosciuto direttamente?
Si' la lagrangiana e' un funzionale, ed e' l'integranda di un problema variazionale; la sua coniugata (nel senso dell'Analisi convessa) e' l'hamiltoniana, altro funzionale. Questi sono i due oggetti classici del Calcolo delle variazioni.
Purtroppo non ho mai conosciuto Paul Erdos, ma ne ho sentito parlare molto. Forse nell'immediato futuro riusciro' a lavorare con Giovanni Alberti di Pisa, che ha numero di Erdos 2, per cui raggiungerei in un colpo numero di Erdos 3! Tengo la pagina aggiornata...
Luca.
Purtroppo non ho mai conosciuto Paul Erdos, ma ne ho sentito parlare molto. Forse nell'immediato futuro riusciro' a lavorare con Giovanni Alberti di Pisa, che ha numero di Erdos 2, per cui raggiungerei in un colpo numero di Erdos 3! Tengo la pagina aggiornata...
Luca.
Io ho letto la biografia di Paul Erdos, e a proposito dei numeri di Erdos racconta che essendo lui esperto della teoria dei grafi, alcuni colleghi costruirono un grafo che rappresentava tutte le colaborazioni fra possessori di un numero di Erdos, fatto ciò si avvidero che se due loro colleghi avessero collaborato il grafo avrebbe assunto una particolare proprietà, e così i due colleghi, che non i erano mai conociuti, trovarono il modo di fare una pubblicazione insieme, a favore del grafo...
Questa mi mancava; non si finisce mai di imparare qualcosa. Al di la' di tutto, sono molto contento di discutere di Matematica avanzata con ingegneri, che solitamente vedo come persone che tentano di evitarla, piuttosto che affrontarla.
Luca.
Luca.
Non puoi fare una affermazione così generalizzata, risulta falsa.
Fra le persone ad esempio che partecipano a questo Forum, non poche sono o saranno ingegneri.
Ho l'impressione che questo tuo atteggiamento negativo nei confronti degli ingegneri, dipenda da esperienze didattiche negative.
Prova a riconsiderare questa tua posizione.
Camillo
Fra le persone ad esempio che partecipano a questo Forum, non poche sono o saranno ingegneri.
Ho l'impressione che questo tuo atteggiamento negativo nei confronti degli ingegneri, dipenda da esperienze didattiche negative.
Prova a riconsiderare questa tua posizione.
Camillo
Infatti ho detto che mi fa piacere discutere con gli ingegneri; ti dico la verita': di persona non ne ho mai incontrato uno che e' uno che fosse interessato alla Matematica (sia studente sia gia' laureato)(a meno di conferenzieri, chiaro). Sicuramente e' falso che tutti gli ingegneri non vanno d'accordo con la Matematica, su questo sono d'accordo. Voi siete l'esempio; ma al di la' di voi, io non conosco nessun altro che abbia questo interesse.
Luca.
Luca.
Magari un giorno c'incontriamo così lo trovi quest'ingegnere! [;)]
Sarebbe veramente da organizzare un incontro tra tutti noi. Cosa ne dici? Sara' difficile, dovremmo scegliere un baricentro tra le varie citta', ma secondo me si puo' fare!
Luca.
Luca.
...cominciamo a calcolare il baricentro...
Bisognerebbe prima vedere chi ci sta ad incontrarsi e poi, quando si hanno in mano le varie citta', trovare il posto piu' adatto...
Luca.
P.S. Apro un nuovo post per la proposta.
Luca.
P.S. Apro un nuovo post per la proposta.
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