Funz. caratteristica sull'insieme di cantor
Ciao a tutti.
So che, detto $E$ l'insieme ternario di Cantor in $[0,1]$, $chi_E$ è discontinua in ogni punto di $E$ e continua in ogni punto di $[0,1]\\E$. Quello che non so è la dimostrazione
.
Io dire così: $E$ è mai denso in $[0,1]$, cioè la chiusura di $E$ (che sinceramente non so chi sia, dato che E è chiuso) ha parte interna vuota; $E$ è perfetto, cioè è chiuso e ogni punto di $E$ è di accumulazione per $E$ stesso, dunque $E$ non ha punti isolati.
La preimmagine tramite $chi_E$ di un qualsiasi intorno (ovviamente aperto, per dfinizione) di $1$ è $E$, che è chiuso, dunque $chi_E$ non è continua in $E$.
$E$ è chiuso, dunque $[0,1]\\E$ è aperto; la preimmagine tramite $chi_E$ di un qualsiasi intorno di $0$ è $[0,1]\\E$, che è aperto, dunque $chi_E$ è continua in $[0,1]\\E$.
Ha qualche senso quello che ho scritto?
GRAZIE GRAZIE.
So che, detto $E$ l'insieme ternario di Cantor in $[0,1]$, $chi_E$ è discontinua in ogni punto di $E$ e continua in ogni punto di $[0,1]\\E$. Quello che non so è la dimostrazione
.Io dire così: $E$ è mai denso in $[0,1]$, cioè la chiusura di $E$ (che sinceramente non so chi sia, dato che E è chiuso) ha parte interna vuota; $E$ è perfetto, cioè è chiuso e ogni punto di $E$ è di accumulazione per $E$ stesso, dunque $E$ non ha punti isolati.
La preimmagine tramite $chi_E$ di un qualsiasi intorno (ovviamente aperto, per dfinizione) di $1$ è $E$, che è chiuso, dunque $chi_E$ non è continua in $E$.
$E$ è chiuso, dunque $[0,1]\\E$ è aperto; la preimmagine tramite $chi_E$ di un qualsiasi intorno di $0$ è $[0,1]\\E$, che è aperto, dunque $chi_E$ è continua in $[0,1]\\E$.
Ha qualche senso quello che ho scritto?
GRAZIE GRAZIE.
Risposte
ah ho dimenticato una cosa. se ad $E$ sostituisco l'insieme degli irrazionali in $[0,1]$ non ottengo dli stessi risultati di (dis)continuità di cui sopra? ancora grazie.
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