Frontiera di un insieme in R

[kkkcristo]

Vorrei proporvi questo esercizio, mi rendo conto che è molto semplice e soprattutto intuitivo ma, appunto perché sono arrivato immediatamente alla soluzione, non riesco ad eseguirlo passo passo. Eccolo:

In $R$ sia $E={1/n : n in N}$. Verificare che $\partial E = E uu {0}$.

Io so che la frontiera di $E$ è data da $R - (IntE uu ExtE)$ e che $ExtE$ è dato da $IntE(R-E)$ ma non so come applicare le formule in modo che mi diano il risultato desiderato, grazie.

[misanino]

"kkkcristo": che $ExtE$ è dato da $IntE(R-E)$ .

Forse intendi dire che $ExtE$ è dato da $Int(R-E)$?

[misanino]

Se è così come ti ho scritto prima e se vuoi proprio la giustificazione di ogni passaggio (usando la definizione di frontiera che hai dato tu) allora:

1. vado a calcolare $Int(E)$.
Un punto $x\in Int(E)$ se esiste $\epsilon>0$ tale che $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ è tutto contenuto in $E$.
Sia $1/n$ un qualsiasi punto di $E$. Fissato un certo $epsilon$ allora esiste $\delta Allora $x+delta \in (x-\epsilon,x+\epsilon)$ e ovviamente $x+\delta \notin E$. Perciò qualunque sia $1/n$ non esiste $epsilon$ tale che $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ è tutto contenuto in $E$ e quindi si ha che $Int(E)$ è l'insieme vuoto.

2. vado ora a calcolare $Ext(E)$ cioè $Int(RR-E)$.
Ovviamente $Int(RR-E)$ è contenuto in $RR-E$ il che ci dice già che $E\in del(E)$
Ora $E$ è contenuto nell'intervallo [0,1] quindi ovviamente $RR-[0,1]$ $\in$ $Int(RR-E)$.
Poi $1\inE$ e quindi resta da analizzare $[0,1)$ esclusi i punti di E.
Sia dapprima $0 Ora $0 Se scelgo allora $epsilon$ minore del minimo tra $1/2*(1/n-x)$ e $1/2*(x-1/(n+1))$ allora ho che $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ è tutto contenuto in $RR-E$ e quindi $x\in Int(RR-E)$.
Ci resta solo da analizzare il punto $x=0$. Voglio mostrare che esso non appartiene a $Int(RR-E)$ e che quindi è nella frontiera di E e così facendo avrei concluso.
Sia quindi $\epsilon$ qualsiasi. Allora devo mostare che $(-epsilon,epsilon)$ contiene dei punti di E.
Sia $n$ tale che $1/n1/epsilon$ allora $1/n\in (-epsilon,epsilon)$ e quindi $0 \notin Int(RR-E)$ e ho finito