Frontiera di un insieme
devo determinare i punti critici su $ E = {(x, y, z) ∈ RR^3 | 3x^2 ≤ y^2 + z^2 ≤ 12} $ di $ f : E → RR $ $ f(x,y,z) = x^2e^{−(x^2+y^2+z^2)} $
una volta trovati i punti in cui si annulla il gradiente, il libro scrivo la frontiera di $ E $ come
$ ∂E = {(x, y, z) ∈ RR^3 | 3x^2 = y^2 + z^2 , |x| < 2} $ $ ∪ {(x, y, z) ∈ RR^3 | y^2 + z^2 = 12 , |x| < 2} $ $ ∪{(x,y,z)∈RR^3 |y^2+z^2 =12,|x|=2}∪{0,0,0}. $
potreste aiutarmi a capire questa scrittura, in particolare da dove esca fuori la condizione $ |x| < 2 $ ? in particolare ho difficoltà a rappresentare graficamente $ E $
una volta trovati i punti in cui si annulla il gradiente, il libro scrivo la frontiera di $ E $ come
$ ∂E = {(x, y, z) ∈ RR^3 | 3x^2 = y^2 + z^2 , |x| < 2} $ $ ∪ {(x, y, z) ∈ RR^3 | y^2 + z^2 = 12 , |x| < 2} $ $ ∪{(x,y,z)∈RR^3 |y^2+z^2 =12,|x|=2}∪{0,0,0}. $
potreste aiutarmi a capire questa scrittura, in particolare da dove esca fuori la condizione $ |x| < 2 $ ? in particolare ho difficoltà a rappresentare graficamente $ E $
Risposte
Ciao itisscience,
Beh, da $ 3x^2 <= 12 \implies x^2 <= 4 \implies |x| <= 2 $: poi distingue i casi col $<$ e con $=$ ...
Osserverei inoltre che la funzione proposta $ f(x,y,z) = x^2e^{−(x^2+y^2+z^2)} \ge 0 $ è definita su $D = \RR^3 $ ed è pari.
Mi risulta un minimo globale nel punto $O(0,0,0) $ che ovviamente vale $0$ e due massimi locali nei punti $M(1,0,0)$ e $M'(- 1,0,0)$ che valgono entrambi $1/e $
"itisscience":
[...] in particolare da dove esca fuori la condizione $|x|<2 $
Beh, da $ 3x^2 <= 12 \implies x^2 <= 4 \implies |x| <= 2 $: poi distingue i casi col $<$ e con $=$ ...
Osserverei inoltre che la funzione proposta $ f(x,y,z) = x^2e^{−(x^2+y^2+z^2)} \ge 0 $ è definita su $D = \RR^3 $ ed è pari.
Mi risulta un minimo globale nel punto $O(0,0,0) $ che ovviamente vale $0$ e due massimi locali nei punti $M(1,0,0)$ e $M'(- 1,0,0)$ che valgono entrambi $1/e $
non mi sono chiare delle cose:
nella scrittura della frontiera si considera l'origine perchè la funzione non è mai negativa, giusto?
e perchè non c'è anche l'insieme $ {(x, y, z) ∈ RR^3 | 3x^2 = y^2 + z^2 , |x| = 2} $ ?
inoltre, i punti in cui si annulla il gradiente sono $ (0,0,0) $ e $ (0,y,z) $ ma il testo dice che va bene sono l'origine, ma non capisco perchè $ (0,y,z) $ non appartenga all'insieme
forse sarebbe meglio disegnarla la frontiera, ma non capisco cosa sia $ 3x^2<=y^2+z^2<=12 $
nella scrittura della frontiera si considera l'origine perchè la funzione non è mai negativa, giusto?
e perchè non c'è anche l'insieme $ {(x, y, z) ∈ RR^3 | 3x^2 = y^2 + z^2 , |x| = 2} $ ?
inoltre, i punti in cui si annulla il gradiente sono $ (0,0,0) $ e $ (0,y,z) $ ma il testo dice che va bene sono l'origine, ma non capisco perchè $ (0,y,z) $ non appartenga all'insieme
forse sarebbe meglio disegnarla la frontiera, ma non capisco cosa sia $ 3x^2<=y^2+z^2<=12 $
"itisscience":
nella scrittura della frontiera si considera l'origine perché la funzione non è mai negativa, giusto?
Eh beh, l'ho evidenziato nel mio post precedente che la funzione proposta è sempre positiva o al più nulla, il che accade in ogni punto del tipo $(0, y, z) $
"itisscience":
e perché non c'è anche l'insieme ${(x,y,z) \in \RR^3 ∣ 3x^2=y^2+z^2, ∣x∣=2} $?
Immagino perché se $|x| = 2 \implies 3x^2 = 12 $ e si avrebbe $12 = 3x^2 \le y^2 + z^2 \le 12 \implies y^2 + z^2 = 12 $ che rientra in uno degli altri casi considerati.
"itisscience":
inoltre, i punti in cui si annulla il gradiente sono $(0,0,0)$ e $(0,y,z)$
Questo proprio non mi risulta...
Si ha:
$\nabla f = (- 2x (x^2 - 1) e^{-(x^2 + y^2 + z^2)}, - 2x^2 y e^{-(x^2 + y^2 + z^2)}, - 2x^2 z e^{-(x^2 + y^2 + z^2)})$
Quindi $ \nabla f = 0 $ in $O(0,0,0) $ e negli altri due punti già menzionati $M(1,0,0) $ e $M'(- 1,0,0) $ che però non fanno parte di $E$: lo si vede subito perché per $x = \pm 1 $, $y = z = 0 $ la catena di disuguaglianze $ 3x^2 \le y^2 + z^2 \le 12 $ diventerebbe $3 \le 0^2 + 0^2 \le 12 $ e la prima disuguaglianza è palesemente falsa...
"itisscience":
forse sarebbe meglio disegnarla la frontiera, ma non capisco cosa sia $ 3x^2 \le y^2 + z^2 \le 12 $
Direi che si tratta di coni, ma la verità è che non è che ti interessi più di tanto...
"pilloeffe":
Si ha:
$ \nabla f = (- 2x (x^2 - 1) e^{-(x^2 + y^2 + z^2)}, - 2x^2 y e^{-(x^2 + y^2 + z^2)}, - 2x^2 z e^{-(x^2 + y^2 + z^2)}) $
Quindi $ \nabla f = 0 $ in $ O(0,0,0) $ e negli altri due punti già menzionati $ M(1,0,0) $ e $ M'(- 1,0,0) $ che però non fanno parte di $ E $: lo si vede subito perché per $ x = \pm 1 $, $ y = z = 0 $ la catena di disuguaglianze $ 3x^2 \le y^2 + z^2 \le 12 $ diventerebbe $ 3 \le 0^2 + 0^2 \le 12 $ e la prima disuguaglianza è palesemente falsa...
ma in realtà guardando l'espressione del gradiente noto che basta che $ x=0 $ e allora per qualsiasi $ (y,z) $ non nulli il gradiente è nullo
Ciao
L op si chiedeva che forma avesse l insieme E
Vediamo se sono d aiuto
Una condizione dice
$y^2+z^2<12$
Sicché mi vanno bene tutti i punti di un cilindro che abbia l asse coincidente con l asse x e raggio $2sqrt3$
L altra condizione
$3x^2
Non possiamo però superare x=2 da una parte e x=-2 dall altra perchè usciremmo dal cilindro
Si formano quindi due coni simmetrici rispetto al piano $zy$ col vertice nell origine e le due basi due cerchi di raggio $2sqrt3$ quando x=2 da una parte e x=-2 dall altra.
La nostra funzione si annulla quando x=0 ma l unico punto del piano $yz$ dove ciò può avvenire è l origine.
Gli altri punti sono fuori dall insieme E
L op si chiedeva che forma avesse l insieme E
Vediamo se sono d aiuto
Una condizione dice
$y^2+z^2<12$
Sicché mi vanno bene tutti i punti di un cilindro che abbia l asse coincidente con l asse x e raggio $2sqrt3$
L altra condizione
$3x^2
Non possiamo però superare x=2 da una parte e x=-2 dall altra perchè usciremmo dal cilindro
Si formano quindi due coni simmetrici rispetto al piano $zy$ col vertice nell origine e le due basi due cerchi di raggio $2sqrt3$ quando x=2 da una parte e x=-2 dall altra.
La nostra funzione si annulla quando x=0 ma l unico punto del piano $yz$ dove ciò può avvenire è l origine.
Gli altri punti sono fuori dall insieme E
"itisscience":
ma in realtà guardando l'espressione del gradiente noto che basta che $x=0$ e allora per qualsiasi $(y,z)$ non nulli il gradiente è nullo
Giusto, ma in quei punti la funzione si annulla, quindi è chiaro che il gradiente è nullo: non sono punti critici.
"pilloeffe":
Giusto, ma in quei punti la funzione si annulla, quindi è chiaro che il gradiente è nullo: non sono punti critici.
E perché no? Sono punti di minimo globale.
"dissonance":
Sono punti di minimo globale.
Hai ragione, mi sono espresso male, chiedo venia... Intendevo dire che imponendo il gradiente pari a zero si determinano tipicamente i massimi ed i minimi relativi o locali di una funzione di più variabili. Incidentalmente, come in questo caso, si possono trovare anche quelli globali. Non mi sono soffermato sui punti di minimo globale della funzione in questione perché si trovano già prima di annullare il gradiente, annullando la funzione che come è già stato detto è sempre positiva o al più nulla. Tutti i punti del piano $y-z$, che sono proprio quelli del tipo $(0,y,z) $, annullano la funzione proposta, pertanto tutti i punti del piano $y-z$ sono di minimo globale e quindi naturalmente lo sono anche quelli che soddisfano il vincolo che compare in $E$, che per i punti del tipo $(0,y, z) $ si scrive semplicemente $0 <= y^2 + z^2 <= 12 $ (tutti i punti sulla frontiera ed interni alla circonferenza di equazione $ y^2 + z^2 = 12 $) che ovviamente costituiscono un sottoinsieme proprio di tutti quelli del piano $y-z$
Ipotizzo (ma di questo non posso essere sicuro) che il testo dell'OP riporti solo il caso del punto $O(0,0,0) $ perché in tale punto la funzione presenta un minimo globale che vale $0$, che è lo stesso valore minimo possibile assunto dalla funzione in tutti i punti del tipo $(0,y, z) $ (tra i quali fra l'altro c'è anche $O$, che si ottiene nel caso particolare $y = z = 0 $). Altrimenti non ci resta che optare per un errore di stampa (non sarebbe la prima volta...
)
nessun errore di stampa questa volta 
grazie mille!
grazie mille!
"itisscience":
grazie mille!
Prego, anche se onestamente alla fine non è che abbia capito proprio bene bene qual era il tuo problema...
Comunque tutto è bene quel che finisce bene!
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