Frazioni Continue

[DarioBaldini]

Devo trovare i primi 10 termini di :
a) 3
b) $sqrt 3$

Io con la formula $ a0+1/(a1+1/(a2+1/(a3+1)))$ ecc.. fino a10 non riesco a venire a capo, anche perché mi escono dei risultati enormi...
Consigli..?
Grazie

[G.D.5]

Prendi il numero $alpha in RR$:
1) individuane la parte intera, sottraila ad $alpha$;
1) se viene $0$ hai finito, non ci sono santi da appendere;
2) se viene $!=0$ fai il reciproco del risultato e ripeti 1) e 2).

[vict85]

Si chiamano frazioni continue (continued fraction in inglese) e non frazioni concatenate.

[DarioBaldini]

"WiZaRd":Prendi il numero $alpha in RR$:
1) individuane la parte intera, sottraila ad $alpha$;
1) se viene $0$ hai finito, non ci sono santi da appendere;
2) se viene $!=0$ fai il reciproco del risultato e ripeti 1) e 2).

Scusa ma non ho capito il tuo ragionamento. Con il numero 3 io dovrei trovare i suoi primi 10 membri. non riusciresti a spiegarmelo applicando il tuo ragionamento al numero 3?

[vict85]

Un po' di riferimenti...

http://www.dmi.unipg.it/~gennaro.esposi ... na-PFA.pdf
http://www.syllogismos.it/history/Frazioni.pdf
http://www.ciim26.unimore.it/abstract/abs_barozzi.pdf

Ora però prendiamo in considerazione gli algoritmi da usare in quel caso...

Scriviamo la frazione continua come $[a_0, a_1, a_2, a_3, ...]$ per semplicità (nei vari testi o su un qualsiasi testo di teoria dei numeri base vedi delle dimostrazioni).

Ora dobbiamo determinare due cose: i vari $a_i$ e soprattutto come creare l'$n$-esimo convergente $p_n/q_n$.

$p_n$ e $q_n$ sono generati ricorsivamente usando questa formula:

$p_n = a_np_{n-1} + p_{n-2}$
$q_n = a_nq_{n-1} + q_{n-2}$

Con $p_0 = a_0$, $q_0 = 1$, $p_1=a_0a_1+1$, $q_1=a_1$

In generale per gli $a_i$ bisognerebbe usare il metodo esposto da Wizard ma dato che stiamo lavorando con un irrazionale quadratico si può usare un'altro metodo. Vedi qui:

http://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of ... _expansion

Tieni conto che nel caso considerato la successione diventa periodica. In particolare ha la forma $[a_0, bar{a_1, a_2, ... , 2a_0}]$ quindi ti puoi fermare non appena trovi $a_i = 2a_0$.

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Nel tuo caso la frazione continua è: $[1,bar{1, 2}]$. Prova per credere.

Quindi $p_0 = 1$, $p_1 = 2$, $q_0 = 1$, $q_1=1$

$p_2 = 4 + 1 = 5$, $q_2 = 2 + 1 = 3$
$p_3 = 5 + 2 = 7$, $q_3 = 3 + 1 = 4$
$p_4 = 14 + 5 = 19$, $q_4 = 8 + 3 = 11$
$p_5 = 19 + 7 = 26$, $q_5 = 11 + 4 = 15$

Quindi viene approssimato dalle frazioni $1, 2, 5/3, 7/4, 19/11, 26/15$ che scritti in forma decimale sono: $1, 2, 1.bar{6}, 1.75, 1.bar{72}, 1.7bar{3}$.

Considerando che $\sqrt(3) = 1.7320508075689$ bisogna procedere ancora un bel po' di passaggi...

$p_6 = 52 + 19 = 71$, $q_6 = 30 + 11 = 41$ cioé $1.bar{73170}$
$p_7 = 71 + 26 = 97$, $q_7 = 41 + 15 = 56$ cioé circa $1.732142857$
$p_8 = 194 + 71 = 265$, $q_8 = 112 + 41 = 153$ cioé circa $1.732026144$
$p_9 = 265 + 97 = 362$, $q_9 = 153 + 56 = 209$ cioé circa $1.732057416$
$p_10 = 724 + 265 = 989$, $q_10 = 418 + 153 = 571$ cioé circa $1.732049037$
$p_11 = 989 + 362 = 1351$, $q_11 = 571 + 209 = 780$ cioé circa $1.732051282$
$p_12 = 2702 + 989 = 3691$, $q_12 = 1560 + 571 = 2131$ cioé circa $1.73205068$
$p_13 = 3691 + 1351 = 5042$, $q_13 = 2131 + 780 = 2911$ cioé circa $1.732050842$
$p_14 = 10084 + 3691 = 13775$, $q_14 = 5822 + 2131 = 7953$ cioé circa $1.732050798$
$p_15 = 13775 + 5042 = 18817$, $q_15 = 7953 + 2911 = 10864$ cioé circa $1.73205081$
$p_16 = 37634 + 13775 = 51409$, $q_16 = 21728 + 7953 = 29681$ cioé circa $1.732050807$
$p_17 = 51409 + 18817 = 70226$, $q_17 = 29681 + 10864 = 40545$ cioé circa $1.7320508077444$
$p_18 = 140452 + 51409 = 191861$, $q_18 = 81090 + 29681 = 110771$ cioé circa $1,732050807521824$ (che approssima alla 10° cifra decimale)
$p_19 = 191861 + 70226 = 262087$, $q_19 = 110771 + 40545 = 151316$ cioé circa $1,7320508075814851$
$p_20 = 524174 + 191861 = 716035$, $q_20 = 302632 + 110771 = 413403$ cioé circa $1,73205080756549$