Fratti semplici senza polinomio

rocco.g1
Ciao!

Dovrei risolvere un problema di Cauchy del tipo:

y''(t) + y(t) = H(t) - 2H(t-1) + H(t-2);
y(0)=0 e y'(0)=0

con t >0 e dove H è la funzione di Heaviside...


Risolvendo arrivo a:



ma poi come faccio ad antitrasformare? cioè come faccio a dividere il secondo membro in fratti semplici? al numeratore non c'è un polinomio... a cosa uguaglio i vari A, B e C?


Help me, please! :D

Risposte
Kroldar
"rocco.g":
Ciao!

Dovrei risolvere un problema di Cauchy del tipo:

y''(t) + y(t) = H(t) - 2H(t-1) + H(t-2);
y(0)=0 e y'(0)=0

con t >0 e dove H è la funzione di Heaviside...


Risolvendo arrivo a:



ma poi come faccio ad antitrasformare? cioè come faccio a dividere il secondo membro in fratti semplici? al numeratore non c'è un polinomio... a cosa uguaglio i vari A, B e C?


Help me, please! :D

al numeratore c'è un polinomio di grado zero... in ogni caso se proprio vuoi usare il metodo dello costanti fai così:
$a/s+(bs+c)/(s^2+1)=(as^2+a+bs^2+cs)/(s(s^2+1))$ e risolvi come tu ben sai. sinceramente però ti dico che non c'è bisogno di scomodare il metodo delle costanti perché la decomposizione in fratti semplici è banale e si fa a occhio, risulta $1/(s(s^2+1))=1/s-s/(s^2+1)$

rocco.g1
si... sapevo si facesse così...


ma poi gli esponenziali non li devo considerare? cioè poi come è che faccio l'inversa della trasformata considerando pure gli esponenziali?

Kroldar
devi ricordare la proprietà di traslazione nel tempo: $L[x(t-t_0)]=e^(-st_0)X(s)$. ora ricordando che $X(s)=1/s-s/(s^2+1)$ si antitrasforma in $x(t)=u(t)-cos(t)$ otteniamo il risultato finale: $u(t)-cos(t)-2u(t-1)+2cos(t-1)+u(t-2)-cos(t-2)$

rocco.g1
capito tutto!

grazie!!! ;)

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