Fratti semplici - metodo generale

[Garlick]

ciao a tutti, so scomporre una frazione in fratti semplici a patto che il denominatore sia scomponibile con fattori di molteplicità 1, cosa cambia invece se ad esempio al denominatore della frazione ho ad es. (x-3)^2? A e B incognite dei numeratori risultanti devono essere moltiplicati per x? Oppure come mi devo comportare nel caso di denominatori più complessi, ad es.

x(2x)(x-3)^2 ?

Grazie

[Sk_Anonymous]

Se $A,B \in \mathbb{C}[x]$, il teorema del quoziente garantisce l'esistenza di due altri polinomi $Q, R \in \mathbb{C}[x]$ tali che $A(x) = B(x) Q(x) + R(x)$, con $0 \le \deg R < \deg B$. E allora $\frac{A(x)}{B(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{B(x)}$. Se $\deg B = 0$, ben poco v'è da dire. Se invece $n := \deg B > 0$, per il teorema fondamentale dell'algebra, l'equazione $B(x) = 0$ possiede in campo complesso esattamente $n$ radici, se ciascuna è contata con la rispettiva molteplicità algebrica. Ammettiamo in particolare che le radici pairwise distinct siano $x_1, x_2, ..., x_m$, dove $1 \le m \le n$ è un intero, e che $\alpha_i \in \mathbb{Z}^+$ sia la molteplicità algebrica di $x_i$ (i = 1, 2, ..., m). Allora esistono coefficienti $a_{i,1}, a_{i,2}, ..., a_{i,\alpha_i} \in \mathbb{C}$, per ogni $i = 1, 2, ...., m$, tali che $\frac{R(x)}{B(x)} = \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^{\alpha_i} \frac{a_{i,j}}{(x-x_i)^j}$. Se poi tutti i polinomi coinvolti sono considerati in $\mathbb{R}[x]$, anziché in $\mathbb{C}[x]$, allora la faccenda si complica soltanto a livello notazionale, restando tuttavia inalterata nella sua sostanza (btw, dico che in quel caso le radici vanno divise in due "squadre", e che le coppie complesse e coniugate si debbono moltiplicare fra di loro per generare ogni volta un trinomio reale di II grado il cui discriminante è negativo).