Fratti semplici dubbio
Volevo risolvere questo integrale facile col metodo dei fratti semplici ma ho un dubbio.
$int 3/(3x+2)^2$ tirando fuori il 3 scompongo in fratti semplici: $3(int A/(3x+2) + int B/(3x-2)^2)$ è giusto che ci sia $B$ o devo mettere un polinomio di primo grado a coefficienti incogniti $Bx+C$? E come capisco quando devo mettere semplici coefficienti o il polinomio? Grazie e scusate la confusione
$int 3/(3x+2)^2$ tirando fuori il 3 scompongo in fratti semplici: $3(int A/(3x+2) + int B/(3x-2)^2)$ è giusto che ci sia $B$ o devo mettere un polinomio di primo grado a coefficienti incogniti $Bx+C$? E come capisco quando devo mettere semplici coefficienti o il polinomio? Grazie e scusate la confusione
Risposte
Detti \( \alpha, \beta, a, b \neq 0 \):
\[ \frac{ \alpha}{( ax + b)} + \frac{ \beta} {(ax + b)} = \frac{ (\alpha + \beta)(ax + b)}{(ax + b)^2 } = \frac{( \alpha + \beta) ax + (\alpha + \beta) b}{(ax + b)^2} \]
Quindi, nel tuo caso:
\[ \begin{cases} \alpha + \beta = 0 \\ \alpha + \beta = 1 \end{cases} \]
Questo sistema non ha soluzioni. Di fatto, quel fratto non può essere scomposto. Nè serve scomporlo:
\[ \frac{ 3}{(3x + 2)^2} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \left ( - \frac{ 1}{3x + 2} + c \right ) \implies \int \frac{3}{(3x + 2)^2} \ \mathrm dx = - \frac{1}{3x + 2} + c, \ c \in \mathbb{R} \]
\[ \frac{ \alpha}{( ax + b)} + \frac{ \beta} {(ax + b)} = \frac{ (\alpha + \beta)(ax + b)}{(ax + b)^2 } = \frac{( \alpha + \beta) ax + (\alpha + \beta) b}{(ax + b)^2} \]
Quindi, nel tuo caso:
\[ \begin{cases} \alpha + \beta = 0 \\ \alpha + \beta = 1 \end{cases} \]
Questo sistema non ha soluzioni. Di fatto, quel fratto non può essere scomposto. Nè serve scomporlo:
\[ \frac{ 3}{(3x + 2)^2} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \left ( - \frac{ 1}{3x + 2} + c \right ) \implies \int \frac{3}{(3x + 2)^2} \ \mathrm dx = - \frac{1}{3x + 2} + c, \ c \in \mathbb{R} \]
Grazie mille!!
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