Fourier, Plancherel e Parseval
Cosa cambia nel definire la trasformata di Fourier per funzioni dello spazio $L^1$ o per funzioni dello spazio $L^2$? Perché vi sono queste DUE definizioni?
che differenza c'è tra il teorema di Parseval e quello di Plancherel per le trasformate di Fourier?
che differenza c'è tra il teorema di Parseval e quello di Plancherel per le trasformate di Fourier?
Risposte
"raff5184":
Cosa cambia nel definire la trasformata di Fourier per funzioni dello spazio $L^1$ o per funzioni dello spazio $L^2$? Perché vi sono queste DUE definizioni?
La trasformazione di Fourier viene generalmente definita in $L^1$, poiché $AA x(t) in L^1$ l'integrale di Fourier
$int_(-oo)^(+oo) x(t) e^(-jomegat) dt$
è assolutamente convergente, essendo $|e^(-jomegat)| = 1 AA t in RR$.
Siccome una funzione sommabile non è in generale quadrato sommabile, in $L^2$ la definizione di trasformazione di Fourier potrebbe non essere valida, mancando l'assoluta convergenza dell'integrale.
Perché dunque cercare di definire la trasformazione di Fourier in $L^2$ quando in $L^1$ le cose sembrano andare alla perfezione?
In realtà, un'operazione molto frequente, soprattutto nelle applicazioni pratiche, è l'applicazione ripetuta della trasformazione di Fourier (resa semplice dal teorema di dualità). Purtroppo in $L^1$ non si hanno garanzie sul fatto che la trasformata di Fourier di una funzione sommabile sia a sua volta sommabile e quindi trasformabile.
In $L^2$ invece si riesce a superare questo problema e ad ottenere una trasformazione simmetrica, anche se su questo argomento non sono molto ferrato, poiché nel mio corso di Metodi Matematici se ne faceva solo qualche cenno.
Aggiungo che, in tema di applicazione ripetuta della trasformazione di Fourier, diventa di importanza capitale lo spazio delle distribuzioni temperate. Definendo opportunamente la trasformazione di Fourier in tale ambito, si ottiene un risultato strabiliante. Dalle due formule fondamentali della trasformazione di Fourier, si dimostra che la trasformata di Fourier di una distribuzione temperata è ancora una distribuzione temperata. E allora siamo a posto... nello spazio delle distribuzioni temperate si può applicare indefinitamente la trasformazione di Fourier.
"raff5184":
che differenza c'è tra il teorema di Parseval e quello di Plancherel per le trasformate di Fourier?
Bella domanda, una volta posi lo stesso quesito. Se lo trovo posto il link.
Per le funzioni $L^1$ la trasformata di Fourier è ben definita in maniera "diretta" (con l'integrale).
Si passa a $L^2$ perché è stabile rispetto all'operazione di trasformata di Fourier (infatti per i teoremi che hai citato la trasformata di Fourier è un'isometria di $L^2$ che ne conserva la struttura Hilbertiana) e dunque più comodo, però si deve pagare un prezzo. Infatti l'integrale non è più ben definito e quindi deve essere definito come limite (in $L^2$, ovviamente) delle trasformate di Fourier di una successione di funzioni che stanno, a seconda dei gusti, in $L^1 \cap L^2$ o nella classe di Schwartz.
EDIT: Ci siamo sovrapposti!!!
Si passa a $L^2$ perché è stabile rispetto all'operazione di trasformata di Fourier (infatti per i teoremi che hai citato la trasformata di Fourier è un'isometria di $L^2$ che ne conserva la struttura Hilbertiana) e dunque più comodo, però si deve pagare un prezzo. Infatti l'integrale non è più ben definito e quindi deve essere definito come limite (in $L^2$, ovviamente) delle trasformate di Fourier di una successione di funzioni che stanno, a seconda dei gusti, in $L^1 \cap L^2$ o nella classe di Schwartz.
EDIT: Ci siamo sovrapposti!!!
"irenze":
Si passa a $L^2$ perché è stabile rispetto all'operazione di trasformata di Fourier
Intendi il fatto che si può applicare ripetutamente la trasformazione?
Beh, intendo che $L^2$ va in sé e quindi in particolare si può applicare la trasformata più volte.
Grazie! In linea di massima ho capito, ho dato solo una lettura veloce.
Scusa quale intendi?
Intendi proprio il teorema che ci garantisce che: "la trasformata di Fourier di una funzione sommabile sia a sua volta sommabile e quindi trasformabile." ?
Ho studiato le distribuzioni in generale, quali sono le distribuzioni TEMPERATE?
"Kroldar":
teorema di dualità.
Scusa quale intendi?
Intendi proprio il teorema che ci garantisce che: "la trasformata di Fourier di una funzione sommabile sia a sua volta sommabile e quindi trasformabile." ?
"Kroldar":
spazio delle distribuzioni temperate.
Ho studiato le distribuzioni in generale, quali sono le distribuzioni TEMPERATE?
"irenze":
Infatti l'integrale non è più ben definito e quindi deve essere definito come limite (in $L^2$, ovviamente) delle trasformate di Fourier di una successione di funzioni che stanno, a seconda dei gusti, in $L^1 \cap L^2$ o nella classe di Schwartz.
Grazie per la risp, mi daresti qualche chiarimento perché questa parte non mi è molto chiara, non ho tutti i concetti?
Anche qualche formula cortesemente. Non ho capito le parti evidenziate
"raff5184":
Grazie! In linea di massima ho capito, ho dato solo una lettura veloce.
[quote="Kroldar"]
teorema di dualità.
Scusa quale intendi?
Intendi proprio il teorema che ci garantisce che: "la trasformata di Fourier di una funzione sommabile sia a sua volta sommabile e quindi trasformabile." ?
[/quote]
Semmai quadro-sommabile, per una funzione solo sommabile non è mica vero!
Comunque credo che si riferisca a Plancherel...
"raff5184":
[quote="Kroldar"]
spazio delle distribuzioni temperate.
Ho studiato le distribuzioni in generale, quali sono le distribuzioni TEMPERATE?[/quote]
Il duale della classe di Schwartz, denotato con $S'$.
A livello intuitivo, sono le distribuzioni "che non crescono più di un polinomio".
"raff5184":
[quote="irenze"]Infatti l'integrale non è più ben definito e quindi deve essere definito come limite (in $L^2$, ovviamente) delle trasformate di Fourier di una successione di funzioni che stanno, a seconda dei gusti, in $L^1 \cap L^2$ o nella classe di Schwartz.
Grazie per la risp, mi daresti qualche chiarimento perché questa parte non mi è molto chiara, non ho tutti i concetti?
Anche qualche formula cortesemente. Non ho capito le parti evidenziate[/quote]
La classe di Schwartz è lo spazio delle funzioni $C^\infty$ che "decrescono meglio di qualunque potenza con tutte le loro derivate". In formule (su $RR$, ma si può facilmente generalizzare a $RR^N$ se ti serve) si ha
$S(RR) := {f \in C^\infty(RR) : x^n * D^m f \in L^\infty(\RR) \forall m,n \in NN}$
L'integrale che definisce la trasformata di Fourier non è a priori definito per una funzione $f$ quadro-sommabile che non sia sommabile (pensa ad esempio alla funzione che vale 1 in $]-1,1[$ e $1/x$ altrove).
Se voglio definire la trasformata di Fourier di una tale funzione lo devo fare tramite un procedimento di limite: siccome $L^1 \cap L^2$ è denso in $L^2$, posso approssimare la mia $f$ con una successione $f_n$ di funzioni in $L^1 \cap L^2$ (per le quali, sommabili, l'integrale è ben definito) e chiamare trasformata di Fourier di $f$ l'$L^2$-limite delle trasformate di Fourier delle $f_n$.
Analogamente posso fare con la classe di Schwartz (che è densa in $L^p$ per ogni $p < \infty$).
"raff5184":
Grazie! In linea di massima ho capito, ho dato solo una lettura veloce.
[quote="Kroldar"]
teorema di dualità.
Scusa quale intendi?[/quote]
Intendo una cosa molto semplice: il teorema che fornisce un'espressione della trasformata di una trasformata in termini della funzione di partenza. Nello specifico risulta
$ccF[ccF[x(t)]] = 2pi x(-t)$
Questo risultato è molto potente, ma occorre essere sicuri che la trasformazione sia effettivamente applicabile una seconda volta, quindi andrebbero fatte considerazioni preliminari. Se invece lavoriamo in ambiti in cui siamo sicuri a priori che la trasformazione si possa applicare all'infinito allora possiamo usare quella formula a occhi chiusi.
"irenze":
[quote="raff5184"][quote="irenze"]Infatti l'integrale non è più ben definito e quindi deve essere definito come limite (in $L^2$, ovviamente) delle trasformate di Fourier di una successione di funzioni che stanno, a seconda dei gusti, in $L^1 \cap L^2$ o nella classe di Schwartz.
Grazie per la risp, mi daresti qualche chiarimento perché questa parte non mi è molto chiara, non ho tutti i concetti?
Anche qualche formula cortesemente. Non ho capito le parti evidenziate[/quote]
La classe di Schwartz è lo spazio delle funzioni $C^\infty$ che "decrescono meglio di qualunque potenza con tutte le loro derivate". In formule (su $RR$, ma si può facilmente generalizzare a $RR^N$ se ti serve) si ha
$S(RR) := {f \in C^\infty(RR) : x^n * D^m f \in L^\infty(\RR) \forall m,n \in NN}$
L'integrale che definisce la trasformata di Fourier non è a priori definito per una funzione $f$ quadro-sommabile che non sia sommabile (pensa ad esempio alla funzione che vale 1 in $]-1,1[$ e $1/x$ altrove).
Se voglio definire la trasformata di Fourier di una tale funzione lo devo fare tramite un procedimento di limite: siccome $L^1 \cap L^2$ è denso in $L^2$, posso approssimare la mia $f$ con una successione $f_n$ di funzioni in $L^1 \cap L^2$ (per le quali, sommabili, l'integrale è ben definito) e chiamare trasformata di Fourier di $f$ l'$L^2$-limite delle trasformate di Fourier delle $f_n$.
Analogamente posso fare con la classe di Schwartz (che è densa in $L^p$ per ogni $p < \infty$).[/quote]
Grazie mille ora me lo leggo con calma