Fourier... e dintorni

[Principe2]

Sia $g$ continua in $[0,\pi]$ e tale che $g(0)=g(\pi)=0$. Sia $T\in(0,\infty)$. Dare una condizione sui coefficienti di Fourier di $g$ grazie a cui il problema

$u_t + u_{x x}=0$ in $D=(0,\pi)\times(0,T)$ con condizione $u(0,\cdot)=u(\pi,\cdot)=0$ in $[0,T]$ e

$u(\cdot,T)=g$ in $[0,\pi]$,

ammetta una soluzione continua fino in tutto $\bar{D}$

[_nicola de rosa]

"ubermensch":Sia $g$ continua in $[0,\pi]$ e tale che $g(0)=g(\pi)=0$. Sia $T\in(0,\infty)$. Dare una condizione sui coefficienti di Fourier di $g$ grazie a cui il problema

$u_t + u_{x x}=0$ in $D=(0,\pi)\times(0,T)$ con condizione $u(0,\cdot)=u(\pi,\cdot)=0$ in $[0,T]$ e

$u(\cdot,T)=g$ in $[0,\pi]$,

ammetta una soluzione continua fino in tutto $\bar{D}$

spero di non scrivere cavolate: ma sbagliando si impara.
Io troverei una funzione $u(x,t)=X(x)*T(t)$ cioè come fattorizzazione di due funzioni, ognuna delle quali dipendente da una sola variabile: Così l'equazione $u_t + u_{x x}=0$ $<=>$ $X(x)*T'^{'}t)+X^{''}(x)*T(t)=0$ e quindi separando le variabili
$(X^{''}(x))/(X(x))=(-T^{'}(t))/(T(t))$. Poichè ambo i membri dipendono da una sola variabile, allora l'uguaglianza sussiste se e solo se sono entrambi uguali ad una costante $lambda$:
$(X^{''}(x))/(X(x))=(-T^{'}(t))/(T(t))=lambda$ cioè ${((X^{''}(x))/(X(x))=lambda),((-T^{'}(t))/(T(t))=lambda):}$
Risolviamo il primo problema : dire $u(0,\cdot)=u(\pi,\cdot)=0$ è equivalente a dire $X(0)=X(pi)=0$, per cui $X(x)$ risolve il problema di Sturm-Liouville :
${(X^{''}(x)-lambda*X(x)=0),(X(0)=X(pi)=0):}$. E' noto che un problema del genere ha soluzione non banale se $lambda$ è autovalore e gli autovalori sono negativi del tipo $lambda=-n^2,n in NN$. Con tali autovalori si ha

$X_n(x)=b_n*sin(nx)$.
L'altra equazione differenziale $T^{'}(t)+lambda*T(t)=0$ $<=>$ $T^{'}(t)-n^2*T(t)=0$ $<=>$ $T_n(t)=c*e^(n^2*t),n in NN$ per cui $u_n(x,t)=b_n*e^(n^2*t)*sin(nx)$.
Resta da soddisfare la condizione iniziale $u(\cdot,T)=g$ in $[0,\pi]$. Procediamo per sovrapposizione delle soluzioni elementari, cioè cerchiamo $u$ del tipo $u(x,t)=sum_{n=1}^{infty}b_n*e^(n^2*t)*sin(nx)$ da cui per la condizione iniziale $u(\cdot,T)=g$ si ricava $g=sum_{n=1}^{infty}b_n*e^(n^2*T)*sin(nx)=sum_{n=1}^{infty}c_n*sin(nx),c_n=b_n*e^(n^2*T)$. Si noti che con queste posizioni è soddisfatta l'ipotesi $g(0)=g(pi)=0$.
Notiamo quindi che $g$ è stata scritta come serie trigonometrica. Allora possiamo prolungare $g$ a $[-pi,pi]$ come funzione dispari e poi a tutto $RR$ come una funzione periodica di $2pi$. In tal caso la serie di Fourier di $g$ è di soli seni per cui $c_n=b_n*e^(n^2*T)=1/pi*int_{-pi}^{pi}g(x)*sin(nx)dx=2/pi*int_{0}^{pi}g(x)*sin(nx)dx$

ne ho scritte vero di ca...te? pardon nell'eventualità.