Fourier e convergenza
Salve a tutti ho svolto questo ex d'esame ma non so se è giusto. Qualcuno potrebbe dargli un'occhiata? grazie mille in anticipo 
Data la serie $ sum_(k =1-> +oo) 1/k^2 cos(kx) $ dire se essa:
1)Converge totalmente
2)Rappresenta lo sviluppo in serie di Fourier relativo alla funzione, pari, periodica di periodo $ T=2pi $ definita da
$ f(x)={ ( |x|rarr x in (-pi/2,pi/2) ),( 0rarr x in [-pi,-pi/2]uu[pi/2,pi) ):} $
1)Per quanto riguarda la prima richiesta in quanto $ f_k(x)=1/k^2cos(kx)<= 1/k^2 $ allora la serie converge totalmente.
2)Per quanto riguarda la seconda richiesta invece, sul mio libro c'è questo teorema:
Sia $ Esube RR $ e sia $ f_k $ una successione di funzioni continue da $ E $ in $ RR $ che converge uniformemente ad $ f $ in $ E $. Allora $ f $ è continua in $ E $.
In questo teorema io ho capito che Se $ f_k $ converge totalmente e quindi anche uniformemente $ rArr $ $ f $ è continua. Utilizzando questo teorema al contrario, io so che la mia f è discontinua come si puo vedere dal suo grafico e quindi la serie associata non dovrebbe convergere giusto? quindi la serie datami nell'esercizio in quanto converge non può rappresentare laserie di Fourier associata alla mia funzione. Correggetemi se sbaglio e grazie mille in anticipo
Data la serie $ sum_(k =1-> +oo) 1/k^2 cos(kx) $ dire se essa:
1)Converge totalmente
2)Rappresenta lo sviluppo in serie di Fourier relativo alla funzione, pari, periodica di periodo $ T=2pi $ definita da
$ f(x)={ ( |x|rarr x in (-pi/2,pi/2) ),( 0rarr x in [-pi,-pi/2]uu[pi/2,pi) ):} $
1)Per quanto riguarda la prima richiesta in quanto $ f_k(x)=1/k^2cos(kx)<= 1/k^2 $ allora la serie converge totalmente.
2)Per quanto riguarda la seconda richiesta invece, sul mio libro c'è questo teorema:
Sia $ Esube RR $ e sia $ f_k $ una successione di funzioni continue da $ E $ in $ RR $ che converge uniformemente ad $ f $ in $ E $. Allora $ f $ è continua in $ E $.
In questo teorema io ho capito che Se $ f_k $ converge totalmente e quindi anche uniformemente $ rArr $ $ f $ è continua. Utilizzando questo teorema al contrario, io so che la mia f è discontinua come si puo vedere dal suo grafico e quindi la serie associata non dovrebbe convergere giusto? quindi la serie datami nell'esercizio in quanto converge non può rappresentare laserie di Fourier associata alla mia funzione. Correggetemi se sbaglio e grazie mille in anticipo
Risposte
Ciao provo a risponderti.
Sapendo che la funzione è discontinua possiamo già stabilire, senza bisogno di calcolarne i coefficienti di fourier, che l'ordine di infinitesimo del suo sviluppo in serie e 1/k.
Di conseguenza mi viene da escludere che la tua serie sia lo sviluppo di f(x).
Se la funzione fosse periodica di periodo $ pi $ allora i suoi coeff andrebbero come 1/k^2.
In ogni caso provo a calcolarne lo sviluppo in serie e ti faccio sapere
Sapendo che la funzione è discontinua possiamo già stabilire, senza bisogno di calcolarne i coefficienti di fourier, che l'ordine di infinitesimo del suo sviluppo in serie e 1/k.
Di conseguenza mi viene da escludere che la tua serie sia lo sviluppo di f(x).
Se la funzione fosse periodica di periodo $ pi $ allora i suoi coeff andrebbero come 1/k^2.
In ogni caso provo a calcolarne lo sviluppo in serie e ti faccio sapere
"Davidemas":Non ti scordare il valore assoluto
Salve a tutti ho svolto questo ex d'esame ma non so se è giusto. Qualcuno potrebbe dargli un'occhiata? grazie mille in anticipo
Data la serie $ sum_(k =1-> +oo) 1/k^2 cos(kx) $ dire se essa:
1)Converge totalmente
2)Rappresenta lo sviluppo in serie di Fourier relativo alla funzione, pari, periodica di periodo $ T=2pi $ definita da
$ f(x)={ ( |x|rarr x in (-pi/2,pi/2) ),( 0rarr x in [-pi,-pi/2]uu[pi/2,pi) ):} $
1)Per quanto riguarda la prima richiesta in quanto $ f_k(x)=1/k^2cos(kx)<= 1/k^2 $ allora la serie converge totalmente.
2)Per quanto riguarda la seconda richiesta invece, sul mio libro c'è questo teorema:
Sia $ Esube RR $ e sia $ f_k $ una successione di funzioni continue da $ E $ in $ RR $ che converge uniformemente ad $ f $ in $ E $. Allora $ f $ è continua in $ E $.
In questo teorema io ho capito che Se $ f_k $ converge totalmente e quindi anche uniformemente $ rArr $ $ f $ è continua. Utilizzando questo teorema al contrario, io so che la mia f è discontinua come si puo vedere dal suo grafico e quindi la serie associata non dovrebbe convergere giusto? quindi la serie datami nell'esercizio in quanto converge non può rappresentare laserie di Fourier associata alla mia funzione. Correggetemi se sbaglio e grazie mille in anticipo
Si, è giusto. Infatti questa serie di Fourier convergerà sicuramente verso una funzione tipo "onda triangolare", il che è in accordo con la risposta data da morgantar (l'onda triangolare è una funzione continua).
"morgantar":
Ciao provo a risponderti.
Sapendo che la funzione è discontinua possiamo già stabilire, senza bisogno di calcolarne i coefficienti di fourier, che l'ordine di infinitesimo del suo sviluppo in serie e 1/k.
morgantar innanzitutto grazie per la risposta. Ma in generale quindi vale la regola che se una funzione è discontinua il suo sviluppo sarà dell'ordine 1/k? c'è qualche precisazione riguardo il periodo?
Sia $ Esube RR $ e sia $ f_k $ una successione di funzioni continue da $ E $ in $ RR $ che converge uniformemente ad $ f $ in $ E $. Allora $ f $ è continua in $ E $.
dissonance grazie anche a te per la risposta. l'errore del valore assoluto è stata una dimenticanza
,inoltre volevo chiedere,ma nel mio teorema $ f_k $ rappresenta l'argomento della serie di Fourier(cioè $ f_k=1/k^2*cos(kx) $) e $ f $ rappresenta la funzione datami nella consegna(cioè $ f(x)={ ( |x|rarr x in (-pi/2,pi/2) ),( 0rarr x in [-pi,-pi/2]uu[pi/2,pi) ):} $ ) giusto? non ne sono sicuro perché questo teorema si trova in un capitolo differente rispetto alle serie di Fourier e non so se ho connesso le due cose in modo giusto. grazie ancora a entrambi per la vostra pazienza per il vostro tempo.
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