Forze (campi) conservative
Salve ragazzi,
oggi ho assistito ad un altra lezione di Fisica, ma come al solito, non posso fare a meno di vedere i discorsi che si fanno da un punto di vista matematico
.
Questione 1: Fino alle 10.30 circa di stamane, ero convinto che fossero equivalenti le proposizioni:
(A) $\mathbf{F}$ è conservativo in $\Omega\subset RR^3$
(B) per ogni curva $\gamma$ chiusa semplice regolare a tratti e contenuta in $\Omega$ si ha che
\[\oint_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0\]
nelle ipotesi che $\mathbf{F}:\Omega\to\RR^3$ sia di classe $C^1(\Omega)$.
Senonché il prof. se ne esce dicendo che, in effetti, questa, la (B), non è una condizione sufficiente affinchè una forza sia conservativa. Quando gli ho ripetuto il precedente teorema lui mi ha detto che mi sbagliavo: il problema è che il teorema non l'ho fatto mica io ma sta tale e quale sul mio testo di Analisi II. Chi ha ragione e chi torto? 
(e soprattutto: perchè!?)
Questione 2: Ho tentato (apparentemente con successo) di dimostrare che se $\mathbf{F}$ è costante, allora è conservativa. Ho tenuto conto del fatto che essendo $\mathbf{F}$ costante, allora, certamente $\text{rot}\mathbf{F}=\mathbf{0}$, ossia $\mathbf{F}$ è irrotazionale. Se poi la porzione di spazio $\Omega$ dove $\mathbf{F}$ agisce è un insieme semplicemente connesso (e per i casi che esamineremo nel corso suppongo che lo sarà, allora $\mathbf{F}$ è una forza conservativa.
Il mio prof. ha fatto un "controesempio" mostrando che la forza di attrito radente (che è definita in un insieme semplicemente connesso in quanto agisce lungo una retta) non è una forza conservativa. Effettivamente la sua dimostrazione non fa una piega, quindi mi chiedo: dove ho sbagliato nella dimostrazione?
Grazie in anticipo
oggi ho assistito ad un altra lezione di Fisica, ma come al solito, non posso fare a meno di vedere i discorsi che si fanno da un punto di vista matematico
.Questione 1: Fino alle 10.30 circa di stamane, ero convinto che fossero equivalenti le proposizioni:
(A) $\mathbf{F}$ è conservativo in $\Omega\subset RR^3$
(B) per ogni curva $\gamma$ chiusa semplice regolare a tratti e contenuta in $\Omega$ si ha che
\[\oint_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0\]
nelle ipotesi che $\mathbf{F}:\Omega\to\RR^3$ sia di classe $C^1(\Omega)$.
Senonché il prof. se ne esce dicendo che, in effetti, questa, la (B), non è una condizione sufficiente affinchè una forza sia conservativa. Quando gli ho ripetuto il precedente teorema lui mi ha detto che mi sbagliavo: il problema è che il teorema non l'ho fatto mica io
ma sta tale e quale sul mio testo di Analisi II. Chi ha ragione e chi torto? (e soprattutto: perchè!?)Questione 2: Ho tentato (apparentemente con successo) di dimostrare che se $\mathbf{F}$ è costante, allora è conservativa. Ho tenuto conto del fatto che essendo $\mathbf{F}$ costante, allora, certamente $\text{rot}\mathbf{F}=\mathbf{0}$, ossia $\mathbf{F}$ è irrotazionale. Se poi la porzione di spazio $\Omega$ dove $\mathbf{F}$ agisce è un insieme semplicemente connesso (e per i casi che esamineremo nel corso suppongo che lo sarà, allora $\mathbf{F}$ è una forza conservativa.
Il mio prof. ha fatto un "controesempio" mostrando che la forza di attrito radente (che è definita in un insieme semplicemente connesso in quanto agisce lungo una retta) non è una forza conservativa. Effettivamente la sua dimostrazione non fa una piega, quindi mi chiedo: dove ho sbagliato nella dimostrazione?
Grazie in anticipo
Risposte
per la questione 1 quello che dici tu è corretto solo con qualche ipotesi sulla struttura di $Omega$
Aperto connesso?
Ma non mi pare proprio, walter, che "ipotesi sulla struttura di \(\Omega\)" vuoi fare? No, semplicemente il professore si è sbagliato sulla questione 1. Sulla 2. la risposta più semplice è che la forza di attrito non dipende dalla sola posizione, ma è anche funzione di altri parametri (la velocità del punto materiale, nello specifico). Quindi non ha proprio senso chiedersi se sia conservativa o meno, da un punto di vista strettamente formale. E' una buona idea però toccare con mano il fatto che essa non sia conservativa per una questione di intuizione fisica.
Grazie dissonance. Potresti spiegarti un po meglio riguardo la seconda questione?? Se so che
\[\mathbf{F}_{D}=-\mu N \mathbf{u}_v\]
dove $\mu$ è il coefficiente d'attrito, $N$ il modulo della reazione del vincolo e $\mathbf{u}_v$ il versore della velocità,
trovo che
\[\int^b_a \mathbf{F}_{D}\cdot d\mathbf{s}=-\mu N\int^b_a ds= -\mu N (b-a)\]
Quindi la variazione di energia potenziale non dipende esclusivamente da $a,b$? (quindi in un percorso chiuso avremmo, essendo $b=a$, che la circuitazione è nulla?)
Sicuramente c'è qualcosa che mi sfugge
\[\mathbf{F}_{D}=-\mu N \mathbf{u}_v\]
dove $\mu$ è il coefficiente d'attrito, $N$ il modulo della reazione del vincolo e $\mathbf{u}_v$ il versore della velocità,
trovo che
\[\int^b_a \mathbf{F}_{D}\cdot d\mathbf{s}=-\mu N\int^b_a ds= -\mu N (b-a)\]
Quindi la variazione di energia potenziale non dipende esclusivamente da $a,b$? (quindi in un percorso chiuso avremmo, essendo $b=a$, che la circuitazione è nulla?)
Sicuramente c'è qualcosa che mi sfugge
No, perché come vedi la forza è sempre opposta alla velocità. Quindi se adesso tu torni indietro lungo lo stesso percorso ottieni di nuovo lo stesso lavoro (negativo):
\[\int_b^a \mathbf{F}_D\cdot d \mathbf{s}=-\mu N \lvert a-b\rvert.\]
E quindi andando avanti ed indietro tra \(a\) e \(b\) la tua forza \(\mathbf{F}_D\) continua ad accumulare lavoro negativo, mentre una forza conservativa compierebbe lavoro dei due segni (positivo in un verso, negativo nell'altro).
\[\int_b^a \mathbf{F}_D\cdot d \mathbf{s}=-\mu N \lvert a-b\rvert.\]
E quindi andando avanti ed indietro tra \(a\) e \(b\) la tua forza \(\mathbf{F}_D\) continua ad accumulare lavoro negativo, mentre una forza conservativa compierebbe lavoro dei due segni (positivo in un verso, negativo nell'altro).
Sia lodato il signore ho capito, grazie mille. Solo non capisco da dove viene il modulo $|a-b|$... (cioè dove ho sbagliato sopra?)
EDIT: Per arrivare al risultato, ho fatto (alla maniera dei fisici suppongo) il prodotto scalare tra il versore di $v$ e il $d\mathbf{s}$. Dato che i due vettori sono paralleli e concordi, e dato che $|\mathbf{u}_v|=1$, ottengo che il prodotto dei moduli per il coseno dell'angolo tra i due ($\theta=0$) è $ds$, da cui integrando ottengo $b-a$
ho capito, grazie mille. Solo non capisco da dove viene il modulo $|a-b|$... (cioè dove ho sbagliato sopra?) EDIT: Per arrivare al risultato, ho fatto (alla maniera dei fisici suppongo) il prodotto scalare tra il versore di $v$ e il $d\mathbf{s}$. Dato che i due vettori sono paralleli e concordi, e dato che $|\mathbf{u}_v|=1$, ottengo che il prodotto dei moduli per il coseno dell'angolo tra i due ($\theta=0$) è $ds$, da cui integrando ottengo $b-a$
Per dire che anche se l'integrale è da \(b\) ad \(a\), alla fine viene fuori sempre \(b-a\), ovvero la lunghezza del segmento su cui stai integrando. Allora invece di scrivere \(b-a\) ho messo un valore assoluto, ecco tutto.
Ma scusami, probabilmente mi sfugge un dettaglio, ma integrando da $a$ a $b$ il risultato non cambia?
cioè nel primo caso dovresti avere $-\mu N (b-a)$ nel secondo $-\mu N (a-b)$?
cioè nel primo caso dovresti avere $-\mu N (b-a)$ nel secondo $-\mu N (a-b)$?
Ma da nessuna parte sbagli, Plepp, qual è il problema? Se tu integri il \(ds\) su un segmento, chiaramente ottieni la lunghezza del segmento. E' chiaro questo o no? In formule ciò si scrive
\[\int_a^b ds=b-a, \qquad \int_b^a ds=b-a, \qquad \forall a
Per risparmiare spazio possiamo scrivere in un'unica soluzione
\[\int_\alpha^\beta\, ds = \lvert \beta-\alpha\rvert, \qquad \forall \alpha, \beta,\]
così non dobbiamo preoccuparci di chi è più piccolo di chi. Ecco tutto.
\[\int_a^b ds=b-a, \qquad \int_b^a ds=b-a, \qquad \forall a
Per risparmiare spazio possiamo scrivere in un'unica soluzione
\[\int_\alpha^\beta\, ds = \lvert \beta-\alpha\rvert, \qquad \forall \alpha, \beta,\]
così non dobbiamo preoccuparci di chi è più piccolo di chi. Ecco tutto.
O.o il primo dei due integrali mi è chiaro (anzi è ovvio)...il secondo non dovrebbe avere segno opposto!? O forse mi stai dicendo che quello è un integrale di linea di prima specie e non un semplice integrale di Riemann (quindi invariante per cambiamento d'orientazione)? Sono un po confuso...
quello è un integrale di linea di prima specieE si, certo. Ma non ti affidare ai paroloni, pensa piuttosto all'intuizione fisica. \(ds\) è l'elemento di lunghezza del tuo cammino. Significa che se fai passare un tempo piccolissimo il tuo punto materiale avanza di \(ds\) unità di lunghezza. "Avanza" significa che non importa l'orientazione, stai solo misurando uno spostamento, con segno positivo.
Se tu ora integri \(ds\) su un segmento vuol dire che sommi tutti questi contributi positivi, ottenendo lo spazio totale percorso dal punto materiale, ovvero la lunghezza (positiva!) del segmento.
$ds$ è l'elemento di lunghezza del tuo cammino
Eh...era questo che mi sfuggiva...dato che il testo $d\mathbf{s}$ lo chiama "spostamento", avevo supposto che fosse appunto un altro modo di indicare il $d\mathbf{r}$, dove $\mathbf{r}$ è il raggio vettore...bah...invece, a quanto mi par di capire, $ds$ è l'elemento di ascissa curvilinea
\[s(t)=\int^t_{t_0}|\mathbf{r}'(t)|\,dt\]
o come hai detto, unità di lunghezza...se è cosi ok, altrimenti vuol dire che non c'ho ancora capito un tubo
...
Ok. Adesso va bene.
Grazie dissonance, gentilissimo...
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