Forse un approccio maldestro a questa succ. di funz.
Sono un po' dubbioso sull'approccio che uso per verificare se e dove la
\[f_n(x) = \frac{x}{n+x^2} \cdot \operatorname{Th}{\frac{1}{3 + nx^2}}\]
converge uniformemente.
Mi sembra di andare un po' troppo a naso. D'altronde, non saprei come altro fare al momento.
Oss: \(\operatorname{Th}(-x) = - \operatorname{Th}(x)\). Quindi
\[f_n(x) := g(x) h(x) \Rightarrow f_n(-x) = g(-x) h(-x) = (-1)^2 g(x) h(x) = f_n(x)\]
i.e. \(f_n\) e' pari. Dunque per dare un'occhio alla convergenza uniforme della successione posso anche restringermi sui soli positivi.
La successione converge piuttosto evidenentemente alla funzione limite \(f(x) \equiv 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\).
Convergenza uniforme:
\[\sup_{x \in [0,+\infty)} \frac{x}{n+x^2} \operatorname{Th} \frac{1}{3+n x^2} \stackrel{?}{\to} 0\]
\(\operatorname{Th}\) e' monotona rispetto all'argomento (lo si nota, facendo mezza-derivata); ma l'argomento e' anche lui monotono -e' vincolato nello zero a quota \(1/3\), e si schiaccia a \(0\) (piu' o meno velocemente al variare di \(n\); ma non facciamo scherzi e teniamo \(n\) fissato, al momento).
D'altro canto
\[\frac{x}{n+x^2}\]
e' sempre positiva, vincolata nello zero, e schiacciata a quota zero in \(U(+\infty)\): ha almeno un massimo. Per cercarlo, non riesco a fare a meno di fare il conticino sulla derivata:
\[\operatorname{sgn} \left( \frac{x}{n+x^2} \right)^\prime\equiv \operatorname{sgn} (n + x^2 - 2x^3)\]
Quindi per cercare la crescenza di quella fratta vado a studiare:
\[2x^3 - x^2 - n \le 0 \Leftrightarrow 2x^3 \le x^2 + 2, \; \text{verificata}\; \forall x \le x^*\]
`Graficamente' si nota che il punto di massimo \(x^*\) dipende dal valore di \(n\) (per \(n\) `piu' grandi` e' `piu' a destra').
Quindi mi ritrovo con
\[\sup_{x \in \mathbb{R}} \|\ldots| = f_n(x^*)\]
ma \(f_n(x^*) \to 0\) dato che, al crescere di \(n\), \(x^*\) si sposta verso destra, e il termine modulante (la \operatorname{Th}) si schiaccia sempre di piu' sullo zero.
Dunque, \(\{f_n\} \to f\) in modo uniforme su tutto \(\mathbb{R}\).
Dubbi:
[list=1]
[*:2sey0g0q]come me la sarei potuta cavare diversamente? Studiando la crescenza di tutta \(f_n\)? M'e' parso un massacro, e le probabilita' di cavarci fuori qualche informazione utile mi parevano basse.[/*:2sey0g0q]
[*:2sey0g0q]sempre sia corretto, non potevo dire che dal momento che
\[\sup_{x \in \mathbb{R}} |\ldots| = f_n(x^*)\]
ed \(f_n\) converge puntualmente a \(0\), in particolare lo fara' per \(x^*\) e quindi dalla convergenza puntuale derivare naturalmente la convergenza uniforme?[/*:2sey0g0q]
[/list:o:2sey0g0q]
\[f_n(x) = \frac{x}{n+x^2} \cdot \operatorname{Th}{\frac{1}{3 + nx^2}}\]
converge uniformemente.
Mi sembra di andare un po' troppo a naso. D'altronde, non saprei come altro fare al momento.
Oss: \(\operatorname{Th}(-x) = - \operatorname{Th}(x)\). Quindi
\[f_n(x) := g(x) h(x) \Rightarrow f_n(-x) = g(-x) h(-x) = (-1)^2 g(x) h(x) = f_n(x)\]
i.e. \(f_n\) e' pari. Dunque per dare un'occhio alla convergenza uniforme della successione posso anche restringermi sui soli positivi.
La successione converge piuttosto evidenentemente alla funzione limite \(f(x) \equiv 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\).
Convergenza uniforme:
\[\sup_{x \in [0,+\infty)} \frac{x}{n+x^2} \operatorname{Th} \frac{1}{3+n x^2} \stackrel{?}{\to} 0\]
\(\operatorname{Th}\) e' monotona rispetto all'argomento (lo si nota, facendo mezza-derivata); ma l'argomento e' anche lui monotono -e' vincolato nello zero a quota \(1/3\), e si schiaccia a \(0\) (piu' o meno velocemente al variare di \(n\); ma non facciamo scherzi e teniamo \(n\) fissato, al momento).
D'altro canto
\[\frac{x}{n+x^2}\]
e' sempre positiva, vincolata nello zero, e schiacciata a quota zero in \(U(+\infty)\): ha almeno un massimo. Per cercarlo, non riesco a fare a meno di fare il conticino sulla derivata:
\[\operatorname{sgn} \left( \frac{x}{n+x^2} \right)^\prime\equiv \operatorname{sgn} (n + x^2 - 2x^3)\]
Quindi per cercare la crescenza di quella fratta vado a studiare:
\[2x^3 - x^2 - n \le 0 \Leftrightarrow 2x^3 \le x^2 + 2, \; \text{verificata}\; \forall x \le x^*\]
`Graficamente' si nota che il punto di massimo \(x^*\) dipende dal valore di \(n\) (per \(n\) `piu' grandi` e' `piu' a destra').
Quindi mi ritrovo con
\[\sup_{x \in \mathbb{R}} \|\ldots| = f_n(x^*)\]
ma \(f_n(x^*) \to 0\) dato che, al crescere di \(n\), \(x^*\) si sposta verso destra, e il termine modulante (la \operatorname{Th}) si schiaccia sempre di piu' sullo zero.
Dunque, \(\{f_n\} \to f\) in modo uniforme su tutto \(\mathbb{R}\).
Dubbi:
[list=1]
[*:2sey0g0q]come me la sarei potuta cavare diversamente? Studiando la crescenza di tutta \(f_n\)? M'e' parso un massacro, e le probabilita' di cavarci fuori qualche informazione utile mi parevano basse.[/*:2sey0g0q]
[*:2sey0g0q]sempre sia corretto, non potevo dire che dal momento che
\[\sup_{x \in \mathbb{R}} |\ldots| = f_n(x^*)\]
ed \(f_n\) converge puntualmente a \(0\), in particolare lo fara' per \(x^*\) e quindi dalla convergenza puntuale derivare naturalmente la convergenza uniforme?[/*:2sey0g0q]
[/list:o:2sey0g0q]
Risposte
"giuscri":
...
i.e. \(f_n\) e' pari.
A me risulta che le $f_n$ siano dispari...
In ogni caso mi pare che:
\[\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)| \le \sup_{x \in \mathbb{R}} \frac{|x|}{n+x^2} \cdot 1\]
Restringendosi ai positivi
\[ = \frac{x}{n+x^2} = g_n(x) \]
\[ g_n '(x) = \frac{n - x^2}{(n+x^2)^2} = 0 \;\;\;\;\;\; \iff \;\;\;\;\;\;\; x = \sqrt{n}\]
In definitiva ( a meno di sviste )
\[ \sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)| \le \frac{\sqrt{n}}{2 n} \; \to 0 \]
"Seneca":
[quote="giuscri"]...
i.e. \(f_n\) e' pari.
A me risulta che le $f_n$ siano dispari...[/quote]
Mi ero perso l\(x^2\) della \(\operatorname{Th}\).
In ogni caso mi pare che:
\[\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)| \le \sup_{x \in \mathbb{R}} \frac{|x|}{n+x^2} \cdot 1\]
Gia'! Non avevo pensato alla maggiorazione -in realta' ci penso spesso ma ho sempre paura di maggiorare con qualcosa di inutile.
Credi che il modo in cui l'abbia svolta nel post iniziale sia davvero maldestro?, o si tratta di un ragionamento coerente?
Ti ringrazio, intanto
Diciamo che usi un linguaggio un po' colorito per chiacchierare del problema. Non essendo il tuo un ragionamento rigoroso, mi riesce difficile valutarne l'effettiva correttezza.
Per quanto riguarda la domanda 2. posso dirti che, dipendendo $x^\star$ da $n$, non puoi usare l'argomento di convergenza puntuale come credo tu voglia intendere...
Per quanto riguarda la domanda 2. posso dirti che, dipendendo $x^\star$ da $n$, non puoi usare l'argomento di convergenza puntuale come credo tu voglia intendere...
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