Formuletta integrali: non me la ricordo!
Ciao.. qualcuno di voi mi posterebbe una formuletta per gli integrali che ho scordato?
quando in un integrale si ha 1 fratto un'espressione di 2° grado con delta negativo come si risolve? mi ricordo che c'era una formulona con l'arcotangente...!
Ah poi un'altra cosa: nel metodo dei fratti semplici, si scompone il denominatore. sempre nel caso in cui ci si trovi un'espressione di 2° grado con delta negativo, come si fa? Ad esempio
$int 1/((x-1)(x^2 +x +1)) dx$
Faccio
$1/((x-1)(x^2 +x +1)) = A/(x-1) + B/(x^2 +x + 1) + C*2x/(x^2 +x+1)$ Si faceva così? Con il 2x sopra? Non mi ricordo :S
Grazie mille!
Paola
quando in un integrale si ha 1 fratto un'espressione di 2° grado con delta negativo come si risolve? mi ricordo che c'era una formulona con l'arcotangente...!
Ah poi un'altra cosa: nel metodo dei fratti semplici, si scompone il denominatore. sempre nel caso in cui ci si trovi un'espressione di 2° grado con delta negativo, come si fa? Ad esempio
$int 1/((x-1)(x^2 +x +1)) dx$
Faccio
$1/((x-1)(x^2 +x +1)) = A/(x-1) + B/(x^2 +x + 1) + C*2x/(x^2 +x+1)$ Si faceva così? Con il 2x sopra? Non mi ricordo :S
Grazie mille!
Paola
Risposte
Per quanto riguarda il denominatore con delta negativo anziché spiegarlo a parole ti faccio un esempio: supponiamo di dover risolvere questo integrale indefinito:
$\int\frac{1}{x^2+x+2}}x$
il denominatore ha due radici complesse coniugate; aggiungiamo e togliamo al denominatore una costante in modo da costruire un quadrato, in questo caso basta aggiungere $\frac{1}{4}$, infatti:
$\int\frac{1}{x^2+x+2+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}dx=\int\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}}dx$
Raccogliamo ora $\frac{1}{\frac{7}{4}}$ e otteniamo:
$\frac{1}{\frac{7}{4}}\int\frac{1}{\frac{(x+\frac{1}{2})^2}{\frac{7}{4}}+1}dx=\frac{4}{7}\int\frac{1}{\frac{(x+\frac{1}{2})^2}{\sqrt{\frac{7}{4}}^2}+1}dx$
Ponendo $\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{7}{4}}}=u$ il gioco è fatto.
$\int\frac{1}{x^2+x+2}}x$
il denominatore ha due radici complesse coniugate; aggiungiamo e togliamo al denominatore una costante in modo da costruire un quadrato, in questo caso basta aggiungere $\frac{1}{4}$, infatti:
$\int\frac{1}{x^2+x+2+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}dx=\int\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}}dx$
Raccogliamo ora $\frac{1}{\frac{7}{4}}$ e otteniamo:
$\frac{1}{\frac{7}{4}}\int\frac{1}{\frac{(x+\frac{1}{2})^2}{\frac{7}{4}}+1}dx=\frac{4}{7}\int\frac{1}{\frac{(x+\frac{1}{2})^2}{\sqrt{\frac{7}{4}}^2}+1}dx$
Ponendo $\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{7}{4}}}=u$ il gioco è fatto.
La formula e' questa:
$int (dx)/(ax^2+bx+c)=2/(sqrt(-Delta))atan((2ax+b)/(sqrt(-Delta)))+C$
dove $Delta=b^2-4ac$
Per il 2° es. quel 2 e' superfluo ma comunque il procedimento complessivo e'
un po' diverso.Lo lascio per qualche altro forumista.
karl
$int (dx)/(ax^2+bx+c)=2/(sqrt(-Delta))atan((2ax+b)/(sqrt(-Delta)))+C$
dove $Delta=b^2-4ac$
Per il 2° es. quel 2 e' superfluo ma comunque il procedimento complessivo e'
un po' diverso.Lo lascio per qualche altro forumista.
karl
"prime_number":
Faccio
$1/((x-1)(x^2 +x +1)) = A/(x-1) + B/(x^2 +x + 1) + C*2x/(x^2 +x+1)$ Si faceva così? Con il 2x sopra? Non mi ricordo :S
Se non ricordo male quell'espressione si scomponeva così:
$\frac{1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}$
Guarda guarda...
E pensare che allora questa cosa
mi venne quasi contestata per la sua scarsissima utilità!
PS: ho modificato il primo messaggio del topic per fare
in modo che si visualizzasse l'immagine GIF che
avevo inserito, infatti per visualizzare le immagini
contenute nei messaggi postati nel vecchio forum
bisogna premere EDIT e poi Invia.
E pensare che allora questa cosa
mi venne quasi contestata per la sua scarsissima utilità!
PS: ho modificato il primo messaggio del topic per fare
in modo che si visualizzasse l'immagine GIF che
avevo inserito, infatti per visualizzare le immagini
contenute nei messaggi postati nel vecchio forum
bisogna premere EDIT e poi Invia.
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