Formule su integrali ellittici

[Angelo210]

Sia $m$ un numero reale minore di $1$ ($m<1$), si definisce integrale ellittico completo di seconda specie,
$E[m]=\int_{0}^{pi/2} sqrt(1-m*sin^2 t)*dt$ ,
mentre si definisce integrale ellittico completo di prima specie,
$K[m]=\int_{0}^{pi/2} 1/sqrt(1-m*sin^2 t)*dt$

Vorrei provare le seguenti formule,

$K[m]=-1/sqrt(1-m)*E[m]+(1+sqrt(1-m))/sqrt(1-m)*E[( (sqrt(1-m)-1)/(sqrt(1-m)+1) )^2]$ ,

$E[m]-sqrt(1-m)*E[-m/(1-m)]=K[-m/(1-m)]-sqrt(1-m)*K[m]$ .

Ho provato manipolando la funzione integranda di $K[m]$ in maniera da ricondurla alla funzione integranda di $E[m]$, però non ci sono riuscito. Se qualcuno potesse indicarmi che strada seguire, mi sarebbe molto utile.

Vorrei anche sapere l'indirizzo di un sito internet dove sono presenti formule che legano $K[m]$ con $E[m]$ .

[gugo82]

A naso, direi integrazione per parti di qualche genere.

Tuttavia, se vuoi solo fare il conto per verificare la correttezza della formula, ti consiglio di procedere per altra via: infatti per queste cose c'è come riferimento standard il classicone Abramowitz/Stegun, Handbook of Mathematical Functions, etc... (che trovi in biblioteca); inoltre ce n'è anche una versione online: a questo url trovi il capitolo sugli integrali ellittici della vecchia edizione cartacea, mentre a quest'altro url trovi lo stesso capitolo della nuova versione (la cosiddetta NIST-DLMF).
Inoltre, darei anche un'occhiata al sempreverde Gradshteyn/Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products.