Formule Gauss-Green

[Ryuzaky*]

Ho un dubbio a riguardo dell'applicazione delle formule di Gauss-Green. In pratica per applicare l'una o l'altra formula (intedo $\int \int_D \frac{\partial}{\partial x}F dxdy = \int_{\partial D^+} F(x,y) dxdy$ o l'altra) devo assicurarmi prima che il dominio sia normale rispetto a uno degli assi e poi scegliere quale usare oppure possono essere usate indifferentemente ?
Tra teoria ed esercizi inizio a fare confusione

[dissonance]

In realtà queste formule valgono "sempre" (se il dominio ha la frontiera abbastanza regolare). Le ipotesi di "normalità rispetto a qualche asse" servono più che altro per aiutarsi nella dimostrazione, poi nella pratica uno se le scorda.

[Ryuzaky*]

Un altro dubbio che mi è venuto è il fatto che $(\partialF)/(\partial x) = (\partialF)/(\partial y)$. Questo significa che sto chiedendo che la forma differenziale che vado ad integrare sia chiusa, ma chi me lo assicura ?
Spero di non dire troppe scemenze ma il teorema ci è solo stato enunciato :/

[Seneca1]

In realtà non è nulla di astronomico. Considera la 1-forma differenziale in $RR^2$ $omega$:
\[\displaystyle \omega = F_1 dx + F_2 dy \]
il differenziale esterno $d omega$ è:
\[\displaystyle d \omega = \left ( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right ) dx \wedge dy \]
allora $\omega$ è chiusa $hArr$ $d \omega = 0$ $hArr$ $\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} = 0$ .