Formule di Taylor

[china1]

Come potrei risolvere questi limiti tramite lo sviluppo di Taylor?
lim (x^2-sinx^2)/x^5sin2x
per x ->0
Nel libro dice di mettere x^2=t e 2x=t per sviluppare sinx.
A me non è chiaro come riesce ad arrivare a 1/12.
L'altro è:
lim (xe^xcosx-log(1+x))/x^2
per x->0
Per e^x e cosx dice di usare TAYLOR al primo ordine e per log(1+x) al secondo ordine.
Questo secondo limite dovrebbe dare 3/2.

[WonderP1]

qundo il libro dice "mettere x^2=t e 2x=t per sviluppare sinx" intende di imporre x^2=t per il primo sen(...) e 2x=t per il secondo, ma per non fare confusione scriviamo 2x=s

sappiamo che sen(t)= t-t^3/3!+...+o(t^3)
quindi risulta
(x^2-t+t^3/6+o(t^3))
--------------------
x^5*(s-s^3/6+o(s^3))
ho sviluppato un po' più del dovuto per farti capire... ora sostituiamo. x^2=t e 2x=s

(x^2-x^2+x^6/6+o(x^6))
--------------------
x^5*(2x-2x^3/6+o(x^3))

quindi
x^6/6+o(x^6)
------------
2x^6+o(x^6)

si applica il principio di sostituzione degli infinitesimi e si semplifica: risulta
1/12

Chiaro?


WonderP.

[Nidhogg]

Ecco la risoluzione del secondo limite.



Ciao, Ermanno.

[WonderP1]

mi sono permesso di cambiare il post di leonadro poiché l'immagine non si vedeva (mancava ['img]e ['/img]), ma non capisco perche risulti editato da lui.

WonderP.

[china1]

Grazie 1000,le risoluzioni erano entrambe chiare;ora li confronto con i miei,per capire dove ho sbagliato.
Ciao,China.