Formule di risoluzione di un integrale triplo
Salve a tutti ragazzi, non ho ancora ben capito quando e come usare le formule di riduzione per proiezioni e per sezioni degli integrali tripli.. Vi posto due esempi, da me impostati, per capire se procedo in modo corretto!
Il primo esempio è:
$intintint_T sqrt(x^2+y^2)/(4+sqrt(x^2+y^2)) dxdydz$, essendo
$T={(x,y,z):x^2+y^2<=9, x^2+y^2-z^2>=0}$
Il dominio, se rappresentato in un piano $(x,y,z)$, costituisce il cilindro cui è stato sottratto il cono contenuto al suo interno.
In questo caso, se ho ben capito come si applichino queste formule, risulta conveniente usare la formula di riduzione per sezioni. Mettendo a sistema le equazioni delle due quadriche si osserva che esse si intersecano per $z=3$. Applicando al formula risulta quindi:
$int_0^3dzintint_D f(x,y,z)dxdy$, dove D è la sezione generica ortogonale all'asse z del nostro solido.. Risulta quindi:
$D={(x,y):z^2<=x^2+y^2<=9}$.. Il resto del calcolo dovrebbe essere banale utilizzando una trasformazione in coordinate polari...
Il secondo esempio che vi propongo è il seguente:
$intintint_T 1/(x^2+y^2) dxdydz$, essendo:
$T={(x,y,z):x^2+y^2>=1, x^2+y^2<=4, x^2+y^2+z^2<=16, z>=0}$
Il dominio, se rappresentato in un piano $(x,y,z)$, costituisce la semisfera cui è stato sottratto il cilindro contenuto al suo interno.
Applicando la formula di riduzione per proiezioni, l'integrale diventa:
$intint_Ddxdy int_0^sqrt(16-x^2-y^2) f(x,y,z)dz$, dove D non è più la generica sezione del solido ma è proprio la base del solido.. Risulta quindi:
$D={(x,y):1<=x^2+y^2<=4}$.
E' corretto come ho proceduto? Se ho ben capito, quindi, la formula di riduzione per sezioni risulta essere conveniente quando "l'altezza varia in un intervallo ben definito" e l'integrale doppio va calcolato su una sezione generica del solido... La formula di riduzione per proiezioni risulta invece conveniente quando "l'altezza non varia in un intervallo ben definito", quando, ad esempio, la parte superiore del solido è costituita da una sfera, e l'integrale doppio va calcolato sulla base del solido stesso...
Il primo esempio è:
$intintint_T sqrt(x^2+y^2)/(4+sqrt(x^2+y^2)) dxdydz$, essendo
$T={(x,y,z):x^2+y^2<=9, x^2+y^2-z^2>=0}$
Il dominio, se rappresentato in un piano $(x,y,z)$, costituisce il cilindro cui è stato sottratto il cono contenuto al suo interno.
In questo caso, se ho ben capito come si applichino queste formule, risulta conveniente usare la formula di riduzione per sezioni. Mettendo a sistema le equazioni delle due quadriche si osserva che esse si intersecano per $z=3$. Applicando al formula risulta quindi:
$int_0^3dzintint_D f(x,y,z)dxdy$, dove D è la sezione generica ortogonale all'asse z del nostro solido.. Risulta quindi:
$D={(x,y):z^2<=x^2+y^2<=9}$.. Il resto del calcolo dovrebbe essere banale utilizzando una trasformazione in coordinate polari...
Il secondo esempio che vi propongo è il seguente:
$intintint_T 1/(x^2+y^2) dxdydz$, essendo:
$T={(x,y,z):x^2+y^2>=1, x^2+y^2<=4, x^2+y^2+z^2<=16, z>=0}$
Il dominio, se rappresentato in un piano $(x,y,z)$, costituisce la semisfera cui è stato sottratto il cilindro contenuto al suo interno.
Applicando la formula di riduzione per proiezioni, l'integrale diventa:
$intint_Ddxdy int_0^sqrt(16-x^2-y^2) f(x,y,z)dz$, dove D non è più la generica sezione del solido ma è proprio la base del solido.. Risulta quindi:
$D={(x,y):1<=x^2+y^2<=4}$.
E' corretto come ho proceduto? Se ho ben capito, quindi, la formula di riduzione per sezioni risulta essere conveniente quando "l'altezza varia in un intervallo ben definito" e l'integrale doppio va calcolato su una sezione generica del solido... La formula di riduzione per proiezioni risulta invece conveniente quando "l'altezza non varia in un intervallo ben definito", quando, ad esempio, la parte superiore del solido è costituita da una sfera, e l'integrale doppio va calcolato sulla base del solido stesso...
Risposte
up
Nel primo io sarei partito direttamente con un cambiamento di coordinate cilindriche: diventa più comodo comprendere come sezionare quell'integrale. Infatti ottieni le condizioni $\rho^2\le 9$ e $\rho^2-z^2\le 0$ per cui $0\le \rho\le 3$ e $-\rho\le z\le \rho$ (come vedi, la limitazione sulla $z$ che hai scritto è differente: tu tieni conto solo di mezzo cono, mentre il cono è costituito da due falde, una sopra e una sotto il piano $xOy$. Avresti potuto poi osservare che il dominio è simmetrico, e quindi ridurre il tutto alle sole $z>0$, ma verrebbe lo stesso). Ora l'integrale diventa
$\int_0^{2\pi}\int_0^3\int_{-\rho}^\rho {\rho^2}/{4+\rho}\ dz\ d\rho\ d\theta$
che mi sembra molto semplice. In ogni caso il procedimento che segui è corretto, a patto di essere in grado velocemente di capire quale variabile è quella comoda (cioè quella che varia in un intervallo $[a,b]$).
Resta comunque assodato che con questo tipo di integrali, anche cn il secondo, un passaggio diretto a coordinate cilindriche risolve molte questioni e semplifica di molto il procedimento.
$\int_0^{2\pi}\int_0^3\int_{-\rho}^\rho {\rho^2}/{4+\rho}\ dz\ d\rho\ d\theta$
che mi sembra molto semplice. In ogni caso il procedimento che segui è corretto, a patto di essere in grado velocemente di capire quale variabile è quella comoda (cioè quella che varia in un intervallo $[a,b]$).
Resta comunque assodato che con questo tipo di integrali, anche cn il secondo, un passaggio diretto a coordinate cilindriche risolve molte questioni e semplifica di molto il procedimento.
Grazie della risposta ciampax, chiara come sempre.. Potresti dare un'occhiata a questo post? viewtopic.php?f=36&t=110474
E un'ultima cosa ciampax... Svolgendo l'integrale come ho fatto io, è corretto prendere, nel caso della risoluzione per sezioni (1° caso) la sezione generica e nel caso della risoluzione per proiezioni (2° caso) la base del solido?
Bé sì, anche se eventualmente puoi anche scegliere in maniera diversa le "sezioni": non c'è una regola precisa, si osservano le eventuali simmetrie della figura.
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