Formule di quadratura gaussiane
Qualcuno puo' farmi qualche esempio di come si usano le formule di quadratura gaussiane ??
Magari anche senza fare i conti, ma dire se in un certo integrale lo posso usare o no e perche'.
Grazie in anticipo.
Magari anche senza fare i conti, ma dire se in un certo integrale lo posso usare o no e perche'.
Grazie in anticipo.
Risposte
Nesuno riesce a darmi una mano ??
Per esempio:
ha senso costruire una formula di quadratura gaussiana per questo integrale ??
$ \int_0^1 (x-0.5)^\frac1{3}f(x) dx$
Per esempio:
ha senso costruire una formula di quadratura gaussiana per questo integrale ??
$ \int_0^1 (x-0.5)^\frac1{3}f(x) dx$
L’idea base delle formule di integrazione gaussiane è approssimare un integrale definito nel modo seguente…
$int_a^b w(x)*f(x)*dx$ ~ $sum_(i=1)^n a_i*y(x_i)$ (1)
… in cui per $i=1,2,…,n$ è $a<=x_i<=b$ e $w(x)$ è un opportuna ‘funzione peso’. Caratteristica specifica di tali formule è quella di essere ‘esatte’ se $y(x)$ è un polinomio di grado non superiore a $2n-1$. Sia le $a_i$ sia le $x_i$ che compaiono nella (1) dipendono da $w(x)$. Le $x_i$ in particolari sono gli ‘zeri’ di un polinomio di grado $n$ che varia al variare di $w(x)$. Facciamo alcuni esempi…
a) $w(x)=1, a=-1,b=-1$ -> formule di Gauss-Legendre. Le $x_i$ sono gli zeri del polinomio di Legendre di grado $n$
b) $w(x)=e^(-x), a=0,b=+oo$ -> formule di Gauss-Laguerre. Le $x_i$ sono gli zeri del polinomio di Laguerre di grado $n$
c) $w(x)=e^(-x^2), a=-oo,b=+oo$ -> formule di Gauss-Hermite. Le $x_i$ sono gli zeri del polinomio di Hermite di grado $n$
d) $x(x)=1/(sqrt(1-x^2)), a=-1,b=1$ -> formule di Gauss- Tchebisheff. Le $x_i$ sono gli zeri del polinomio di Tchebisheff di grado $n$…
Ce ne sono altre per casi ‘particolari’. Per l’integrale…
$int_0^1 root(3)(x-1/2)*f(x)*dx$ (2)
… immagino sia da utilizzare una formula tipo Gauss-Legendre… con opportuna sostituzione di variabile che trasformi l’integrale dato in un altro compreso tra $-1$ e $1$…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$int_a^b w(x)*f(x)*dx$ ~ $sum_(i=1)^n a_i*y(x_i)$ (1)
… in cui per $i=1,2,…,n$ è $a<=x_i<=b$ e $w(x)$ è un opportuna ‘funzione peso’. Caratteristica specifica di tali formule è quella di essere ‘esatte’ se $y(x)$ è un polinomio di grado non superiore a $2n-1$. Sia le $a_i$ sia le $x_i$ che compaiono nella (1) dipendono da $w(x)$. Le $x_i$ in particolari sono gli ‘zeri’ di un polinomio di grado $n$ che varia al variare di $w(x)$. Facciamo alcuni esempi…
a) $w(x)=1, a=-1,b=-1$ -> formule di Gauss-Legendre. Le $x_i$ sono gli zeri del polinomio di Legendre di grado $n$
b) $w(x)=e^(-x), a=0,b=+oo$ -> formule di Gauss-Laguerre. Le $x_i$ sono gli zeri del polinomio di Laguerre di grado $n$
c) $w(x)=e^(-x^2), a=-oo,b=+oo$ -> formule di Gauss-Hermite. Le $x_i$ sono gli zeri del polinomio di Hermite di grado $n$
d) $x(x)=1/(sqrt(1-x^2)), a=-1,b=1$ -> formule di Gauss- Tchebisheff. Le $x_i$ sono gli zeri del polinomio di Tchebisheff di grado $n$…
Ce ne sono altre per casi ‘particolari’. Per l’integrale…
$int_0^1 root(3)(x-1/2)*f(x)*dx$ (2)
… immagino sia da utilizzare una formula tipo Gauss-Legendre… con opportuna sostituzione di variabile che trasformi l’integrale dato in un altro compreso tra $-1$ e $1$…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
E ma l' intervallo di integrazione di Gauss-Legendre va da -1 a 1.
Nell' integrale che ho scritto va da 0 a 1.
Poi quale sarebbe la funzione peso che usi ??? Poi: $x-0.5$ cambia di segno nell' intervallo di integrazione.
Nell' integrale che ho scritto va da 0 a 1.
Poi quale sarebbe la funzione peso che usi ??? Poi: $x-0.5$ cambia di segno nell' intervallo di integrazione.
La sostituzione $t=2x-1$ trasforma l'integrale nel seguente modo...
$int_0^1 root(3)(x-1/2)*f(x)*dx= 1/root(3) (16)*int_(-1)^1 root(3) (t)*f((1+t)/2)*dt$ (1)
A questo punto si possono applicare le formule di Gauss Legendre [per le quali è $w(t)=1$...] con $f(t)= root(3) (t)*f((1+t)/2)$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$int_0^1 root(3)(x-1/2)*f(x)*dx= 1/root(3) (16)*int_(-1)^1 root(3) (t)*f((1+t)/2)*dt$ (1)
A questo punto si possono applicare le formule di Gauss Legendre [per le quali è $w(t)=1$...] con $f(t)= root(3) (t)*f((1+t)/2)$...
cordiali saluti
lupo grigio
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Grazie Lupo !!
Comunque ho provato a fare un po' di conti a manina per verificare. Per esempio:
$int_0^1 root(3)(x-1/2)*x^2*dx= 1/root(3) (16)*int_(-1)^1 root(3) (t)*(1/2*t+1/2)^2*dt$
A questo punto visto che il grado della funzione e' 2 calcolo quanti nodi devo usare per trovare la precizione massima della formula di quadratura, e ottengo
$2n-1=2$ implica $n=3/2$ e quindi dovro' prendere $n=2$ ...quindi mi servono 3 nodi.
Svolgo i conti guardando i valori sulla tabella per la quadratura di Gauss-Legendre. (anke se solo con 3 nodi e' abbastanza lungo fare i conti
)
Comunque sia mi esce 0,313678678.
Mentre se faccio svolgere i conti a Derive di questi integrali $int_0^1 root(3)(x-1/2)*x^2*dx= 1/root(3) (16)*int_(-1)^1 root(3) (t)*(1/2*t+1/2)^2*dt$ ottengo (ovviamente per entrambi) 0,17007868.
Cosi' a occhio cosa ho fatto di sbagliato???....3 nodi sono pochi per avere una buona precisione ???...magari per il fatto che c'e' la radice cubica ???
Comunque ho provato a fare un po' di conti a manina per verificare. Per esempio:
$int_0^1 root(3)(x-1/2)*x^2*dx= 1/root(3) (16)*int_(-1)^1 root(3) (t)*(1/2*t+1/2)^2*dt$
A questo punto visto che il grado della funzione e' 2 calcolo quanti nodi devo usare per trovare la precizione massima della formula di quadratura, e ottengo
$2n-1=2$ implica $n=3/2$ e quindi dovro' prendere $n=2$ ...quindi mi servono 3 nodi.
Svolgo i conti guardando i valori sulla tabella per la quadratura di Gauss-Legendre. (anke se solo con 3 nodi e' abbastanza lungo fare i conti
)Comunque sia mi esce 0,313678678.
Mentre se faccio svolgere i conti a Derive di questi integrali $int_0^1 root(3)(x-1/2)*x^2*dx= 1/root(3) (16)*int_(-1)^1 root(3) (t)*(1/2*t+1/2)^2*dt$ ottengo (ovviamente per entrambi) 0,17007868.
Cosi' a occhio cosa ho fatto di sbagliato???....3 nodi sono pochi per avere una buona precisione ???...magari per il fatto che c'e' la radice cubica ???
Dunque, dunque…
In primo luogo l’integrale definito assegnato è risolvibile con metodi elementari senza ricorrere a Derive [per sua intima convinzione lo scrivente non ha mai usato tool matematici ‘già fatti’ ed ha sempre preferito soluzioni ‘fai da te’…]. Premesso che per ogni integrale definito tra limiti ‘simmetrici’ vale la regola…
$int_(-a)^a f(t)*dt= ½*int_0^a [f(t)+f(-t)]*dx$ (1)
… l’integrale in questione diviene…
$1/(root(3) 16)* int_(-1)^1 root(3) t *(1/2+1/2*t)^2*dt= 1/(2*root(3)2)* int_0^1 t^(4/3)*dt= 3/(14*root(3) 2)= .1700786841394499$… (2)
Supponiamo di utilizzare ora una delle formule di Gauss-Legendre per il calcolo dell’integrale. Per dette formule è $w(x)=1$ per cui …
$int_a^b f(x)*dx$ ~ $sum_(i=1)^n a_i*y(x_i)$ (3)
Proviamo da prima per $n=2$. Dalle tavole risultano… $a_i= +- .577350278$ e $a_i=1$. Risulta pertanto…
$1/(root(3) 16)* int_(-1)^1 root(3) x *(1/2+1/2*x)^2*dx$ ~$1/(root(3) 16) (.517935996- .037186129)= .190786129$ (4)
L’errore con $n=2$ è di poco superiore al 10 per cento. La precisione non è granchè d’accordo. Il problema in questo caso stà proprio nella presenza della ‘radice cubica’ e ciò è legato al fatto che tale funzione ha una singolarità [complessa] in $x=0$…
cordiali saluti
lupo grigio
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In primo luogo l’integrale definito assegnato è risolvibile con metodi elementari senza ricorrere a Derive [per sua intima convinzione lo scrivente non ha mai usato tool matematici ‘già fatti’ ed ha sempre preferito soluzioni ‘fai da te’…]. Premesso che per ogni integrale definito tra limiti ‘simmetrici’ vale la regola…
$int_(-a)^a f(t)*dt= ½*int_0^a [f(t)+f(-t)]*dx$ (1)
… l’integrale in questione diviene…
$1/(root(3) 16)* int_(-1)^1 root(3) t *(1/2+1/2*t)^2*dt= 1/(2*root(3)2)* int_0^1 t^(4/3)*dt= 3/(14*root(3) 2)= .1700786841394499$… (2)
Supponiamo di utilizzare ora una delle formule di Gauss-Legendre per il calcolo dell’integrale. Per dette formule è $w(x)=1$ per cui …
$int_a^b f(x)*dx$ ~ $sum_(i=1)^n a_i*y(x_i)$ (3)
Proviamo da prima per $n=2$. Dalle tavole risultano… $a_i= +- .577350278$ e $a_i=1$. Risulta pertanto…
$1/(root(3) 16)* int_(-1)^1 root(3) x *(1/2+1/2*x)^2*dx$ ~$1/(root(3) 16) (.517935996- .037186129)= .190786129$ (4)
L’errore con $n=2$ è di poco superiore al 10 per cento. La precisione non è granchè d’accordo. Il problema in questo caso stà proprio nella presenza della ‘radice cubica’ e ciò è legato al fatto che tale funzione ha una singolarità [complessa] in $x=0$…
cordiali saluti
lupo grigio
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Cavolo...avevo bellamente sbagliato io i conti !!!! 
Quindi come lo hai calcolato te avrebbe un grado di precisione $2*(2) - 1 = 3$ . ok.
Ma quindi se riesco a "rigirare" l'integrale in maniera da avere il peso che mi serve posso sempre usarle le formule di quadratura gaussiane ??? C'e' magari qualche caso particolare ???
Quindi come lo hai calcolato te avrebbe un grado di precisione $2*(2) - 1 = 3$ . ok.
Ma quindi se riesco a "rigirare" l'integrale in maniera da avere il peso che mi serve posso sempre usarle le formule di quadratura gaussiane ??? C'e' magari qualche caso particolare ???
Grazie di tutto...esame passato !!!
ad maiora!!!...
cordiali saluti
lupo grigio
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