Formule di Green-Gauss
Salve a tutti,
La mia prof di Analisi II mi ha presentato come conseguenza delle formule di Green Gauss il fatto che per controllare l'esattezza di una forma differenziale lineare in caso di dominio con "buchi" basta controllare che, se presa una curva chiusa che circonda il buco, questa viene zero in quanto (per GG) "se viene zero su una sarà zero su tutte"! (e Sapete spiegarmi perchè?
Grazie in anticipo!
La mia prof di Analisi II mi ha presentato come conseguenza delle formule di Green Gauss il fatto che per controllare l'esattezza di una forma differenziale lineare in caso di dominio con "buchi" basta controllare che, se presa una curva chiusa che circonda il buco, questa viene zero in quanto (per GG) "se viene zero su una sarà zero su tutte"! (e Sapete spiegarmi perchè?
Grazie in anticipo!
Risposte
E' una conseguenza delle condizioni equivalenti per l'esattezza:
[tex]$\omega$[/tex] esatta [tex]$\Leftrightarrow\ \int_\gamma \omega=0$[/tex] per ogni curva chiusa [tex]$\gamma\ \Leftrightarrow\ \int_{\gamma_1}\omega=\int_{\gamma_2}\omega$[/tex] per ogni coppia di curve che hanno gli stessi estremi (punto di partenza e punto d'arrivo).
[tex]$\omega$[/tex] esatta [tex]$\Leftrightarrow\ \int_\gamma \omega=0$[/tex] per ogni curva chiusa [tex]$\gamma\ \Leftrightarrow\ \int_{\gamma_1}\omega=\int_{\gamma_2}\omega$[/tex] per ogni coppia di curve che hanno gli stessi estremi (punto di partenza e punto d'arrivo).
Io so che se l'integrale lungo una QUALUNQUE curva chiusa della forma differenziale viene zero allora questa è esatta quindi noi teoricamente dovremmo dimostrare che viene zero per qualunque curva chiusa io prendo, ma perchè con GG basta controllarne una sola?
Ma hai letto quello che ho scritto sopra? L'ultima condizione?
Quindi tu vorresti dirmi che non c'entra niente con Green Gauss?
Se hai una forma differenziale $ \omega = a(x,y) dx + b(x,y) dy $ chiusa e di classe $C^1(D)$, dove D è un dominio regolare:
$ \int_\gamma a(x,y) dx + b(x,y) dy $ (dove $\gamma$ è contenuta in D)
Per le formule di Gauss-Green si può riscrivere come:
$ \int \int_T b_y(x,y) dxdy $ - $ \int \int_T a_x(x,y) dxdy $
Sfruttando le proprietà degli integrali doppi:
$ \int \int_T b_y(x,y) - a_x(x,y) dxdy $
Che dovrebbe essere uguale a 0, se la forma differenziale è chiusa.
Credo sia qualcosa del genere la dimostrazione!
$ \int_\gamma a(x,y) dx + b(x,y) dy $ (dove $\gamma$ è contenuta in D)
Per le formule di Gauss-Green si può riscrivere come:
$ \int \int_T b_y(x,y) dxdy $ - $ \int \int_T a_x(x,y) dxdy $
Sfruttando le proprietà degli integrali doppi:
$ \int \int_T b_y(x,y) - a_x(x,y) dxdy $
Che dovrebbe essere uguale a 0, se la forma differenziale è chiusa.
Credo sia qualcosa del genere la dimostrazione!
Grazie abral, credo di aver capito 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo