Formule di Gauss-Grenn: integrali curvilinei o di forme?
Ho un dubbio concettuale sulle formule di Gauss-Green
L'integrale a lato è l'integrale della forma differenziale $\omega=0dx+fdy$ ? Oppure è qualche integrale curvilineo?
Grazie in anticipo
Sia $D$ un dominio regolare del piano e $f:D\to \RR$ un'applicazione di classe $C^{1}$ su $D$. Allora
\[
\iint_{D} \frac{\partial f}{\partial x}dxdy=\int_{+\partial D} fdy
\]
dove $+\partial D$ è la frontiera orientata in modo che il versore normale alla curva punti all'esterno della stessa
L'integrale a lato è l'integrale della forma differenziale $\omega=0dx+fdy$ ? Oppure è qualche integrale curvilineo?
Grazie in anticipo
Risposte
La prima che hai detto, che poi è la stessa cosa della seconda: gli integrali delle 1-forme differenziali sono integrali curvilinei.
Grazie dissonance. E' proprio quello che non mi trovo.
Io ho definito gli integrali curvilineo di una forma $\omega=adx+bdy$ su una curva $\gamma(t)=( x(t),y(t) ), t\in[a,b]$ come
\[
\int_{\gamma} \omega=\int_{\gamma} \langle\omega(x),T(x) \rangle ds=\int_{a}^{b}[a(x(t),y(t))x'(t)+b(x(t),y(t))y'(t)]dt
\]
dove $s$ è l'ascissa curvilinea e $T$ è il versore tangente per ogni $x$ sulla curva. Ma come posso passare da un integrale di una forma ad uno curvilineo?
Ad esempio nel mio caso
\[
\int_{+\partial D} fdy
\]
come interpreto il mio $dy$ ?
Io ho definito gli integrali curvilineo di una forma $\omega=adx+bdy$ su una curva $\gamma(t)=( x(t),y(t) ), t\in[a,b]$ come
\[
\int_{\gamma} \omega=\int_{\gamma} \langle\omega(x),T(x) \rangle ds=\int_{a}^{b}[a(x(t),y(t))x'(t)+b(x(t),y(t))y'(t)]dt
\]
dove $s$ è l'ascissa curvilinea e $T$ è il versore tangente per ogni $x$ sulla curva. Ma come posso passare da un integrale di una forma ad uno curvilineo?
Ad esempio nel mio caso
\[
\int_{+\partial D} fdy
\]
come interpreto il mio $dy$ ?
E no. Ti stai confondendo tra gli integrali dei vettori e quelli delle forme differenziali. Per l'integrale di una forma differenziale, non hai bisogno del \(ds\):
\[
\int_\gamma \omega = \int_a^b \left.\omega\right|_{\gamma(t)}\dot\gamma(t)\, dt.\]
All'atto pratico, scrivi le equazioni \(x=x(t), y=y(t)\) della tua curva, da cui ricavi \(dy=\dot{y}(t)\, dt\) e sostituisci in \(\int f(x, y)\, dy\). Calcolerai quindi
\[
\int_a^b f(x(t), y(t)) \dot{y}(t)\, dt.\]
\[
\int_\gamma \omega = \int_a^b \left.\omega\right|_{\gamma(t)}\dot\gamma(t)\, dt.\]
All'atto pratico, scrivi le equazioni \(x=x(t), y=y(t)\) della tua curva, da cui ricavi \(dy=\dot{y}(t)\, dt\) e sostituisci in \(\int f(x, y)\, dy\). Calcolerai quindi
\[
\int_a^b f(x(t), y(t)) \dot{y}(t)\, dt.\]
Mi trovo con quanto hai scritto, grazie. La quantità
\[
\int_{a}^{b}f(x(t),y(t))\dot{y(t)}dt
\]
non la posso riguardare come un integrale curvilineo di una funzione (e non di una forma)? (ad esempio vedo l'eventuale curva $\gamma$ parametrizzata con $y$, non so)
Grazie ancora
\[
\int_{a}^{b}f(x(t),y(t))\dot{y(t)}dt
\]
non la posso riguardare come un integrale curvilineo di una funzione (e non di una forma)? (ad esempio vedo l'eventuale curva $\gamma$ parametrizzata con $y$, non so)
Grazie ancora
Si ma questi sono falsi problemi. Gli integrali curvilinei sono maniere geometriche di scrivere degli integrali; in fin dei conti sono "solo" notazioni. Una volta srotolata la notazione, un integrale curvilineo non è altro che un normalissimo integrale definito.
(L'unica differenza, fondamentale in geometria Riemanniana, è che gli integrali delle forme differenziali non necessitano di nessuna struttura aggiuntiva, mentre tutti gli altri integrali (di funzioni, o di campi vettoriali) dipendono dalla scelta del prodotto scalare di \(\mathbb R^n\). Quindi, non ti affezionare tanto agli integrali delle funzioni, o dei campi vettoriali. Gli integrali delle forme differenziali sono oggetti "più fondamentali". )
(L'unica differenza, fondamentale in geometria Riemanniana, è che gli integrali delle forme differenziali non necessitano di nessuna struttura aggiuntiva, mentre tutti gli altri integrali (di funzioni, o di campi vettoriali) dipendono dalla scelta del prodotto scalare di \(\mathbb R^n\). Quindi, non ti affezionare tanto agli integrali delle funzioni, o dei campi vettoriali. Gli integrali delle forme differenziali sono oggetti "più fondamentali". )
Hai ragione, sono "pippe" inutili. Grazie tante
"dissonance":
(L'unica differenza, fondamentale in geometria Riemanniana, è che gli integrali delle forme differenziali non necessitano di nessuna struttura aggiuntiva, mentre tutti gli altri integrali (di funzioni, o di campi vettoriali) dipendono dalla scelta del prodotto scalare di \(\mathbb R^n\). Quindi, non ti affezionare tanto agli integrali delle funzioni, o dei campi vettoriali. Gli integrali delle forme differenziali sono oggetti "più fondamentali". )
"Integrale di una forma differenziale" = pairing tra coomologia (di de Rham) e omologia (singolare, confondendo una $k$-catena con una $k$-sottovarietà immersa); questa analogia come va d'accordo con quel che hai detto? Cosa chiedono di più gli integrali che dipendono dalla scelta di un prodotto scalare?
Quei pairing non dipendono dalla scelta di una metrica. Invece, l'integrale di un campo vettoriale si, tu sicuramente già lo sai, ma comunque si vede pure nella scrittura:
\[
\int_\gamma \vec f\cdot \vec t \, ds,\]
che significa, per definizione,
\[
\int_a^b \vec f(\gamma(t))\cdot \dot\gamma(t)\, dt.\]
Ci sono \(\cdot\) ovunque. Stesso discorso con l'integrale di una funzione scalare,
\[
\int_\gamma f\, ds := \int_a^b f(\gamma(t))|\dot{\gamma}(t)|\, dt, \]
qui la dipendenza dal prodotto scalare sta nel modulo \(|\dot{\gamma}(t)|=\sqrt{\dot{\gamma}(t)\cdot \dot\gamma(t)}\).
\[
\int_\gamma \vec f\cdot \vec t \, ds,\]
che significa, per definizione,
\[
\int_a^b \vec f(\gamma(t))\cdot \dot\gamma(t)\, dt.\]
Ci sono \(\cdot\) ovunque. Stesso discorso con l'integrale di una funzione scalare,
\[
\int_\gamma f\, ds := \int_a^b f(\gamma(t))|\dot{\gamma}(t)|\, dt, \]
qui la dipendenza dal prodotto scalare sta nel modulo \(|\dot{\gamma}(t)|=\sqrt{\dot{\gamma}(t)\cdot \dot\gamma(t)}\).
Ci sono $\dot$ ovunque
Escono dalle dannate pareti!
Ho l'impressione che siano due cose diverse; se da una parte campi e forme sono nozioni tra loro duali, e tale dualità è indotta dalla dualità di $RR^n$ col prodotto scalare solito, ho l'impressione che il pairing tra una forma (un cociclo) e una varietà (un ciclo) una volta dualizzato corrisponda al pairing tra un campo e un ???, dove non ho idea di cosa sia ??? e non ho idea se il pairing continui a essere un integrale.
Sembra interessante ma non so proprio cosa possa essere ???
Non mi stupirebbe se il pairing continuasse ad essere un integrale, comunque. Non vedo cosa altro potrebbe essere.
Non mi stupirebbe se il pairing continuasse ad essere un integrale, comunque. Non vedo cosa altro potrebbe essere.
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