Formule di Gauss Green
Ho una curva chiusa e devo calcolarne l'area usando un integrale doppio, questo l'ho fatto. Dopo, però, mi chiede di verificare il rusult ottenuto utilizzando le formule di Gauss Green. Come devo fare?
Risposte
Cosa non sai fare ? Hai guardato la formula di G-G ? Chi sono nel tuo caso $P$ e $Q$ ?
P e Q??
Scusa la formula mi dice che
\(\displaystyle \int\int_ D \partial f/ \partial x = \int_{+ \partial D} f dy\)
Scusa la formula mi dice che
\(\displaystyle \int\int_ D \partial f/ \partial x = \int_{+ \partial D} f dy\)
Ok, è solo questione di nomi. Rifaccio la domanda: chiè per te $f$ (oppure chi è per te $(\partialf)/(\partialx)$) ?
La questione è che io ho un po' di problemi con integrali doppi e tripli e cambiamento di variabili. 
Dunque il mio dominio in particolare era \(\displaystyle D = (\rho, \theta) : 0 \leq \rho \leq 2sen^2(2\theta) , 0<\theta<\pi/2 \)
Ho calcolato l'area quindi osservando che D è normale rispetto a \(\displaystyle \theta \)
Così
\(\displaystyle A(S)= \int d\theta * \int d\rho \)
con il primo integrale che varia tra \(\displaystyle 0<\theta<\pi/2 \) e il secondo \(\displaystyle 0 \leq \rho \leq 2sen^2(2\theta) \), trovando \(\displaystyle \pi/2 \)
Ma se ti devo dire che perchè in questo integrale (*) ho messo solo \(\displaystyle d\theta \) e \(\displaystyle d\rho \)....non lo so!
Dunque il mio dominio in particolare era \(\displaystyle D = (\rho, \theta) : 0 \leq \rho \leq 2sen^2(2\theta) , 0<\theta<\pi/2 \)
Ho calcolato l'area quindi osservando che D è normale rispetto a \(\displaystyle \theta \)
Così
\(\displaystyle A(S)= \int d\theta * \int d\rho \)
con il primo integrale che varia tra \(\displaystyle 0<\theta<\pi/2 \) e il secondo \(\displaystyle 0 \leq \rho \leq 2sen^2(2\theta) \), trovando \(\displaystyle \pi/2 \)
Ma se ti devo dire che perchè in questo integrale (*) ho messo solo \(\displaystyle d\theta \) e \(\displaystyle d\rho \)....non lo so!
Ok, ma la curva chiusa originale era questa ?
$x^2+(y-1)^2=1$
$x^2+(y-1)^2=1$
"Lightmind":
Dunque il mio dominio in particolare era \(\displaystyle D = (\rho, \theta) : 0 \leq \rho \leq 2sen^2(2\theta) , 0<\theta<\pi/2 \)
Scusami ho fatto una confusione enorme: la mia curva chiusa è questa \(\displaystyle \gamma = (\rho, \theta) : 0 \leq \rho \leq 2sen^2(2\theta) , 0<\theta<\pi/2 \)
Faccio prima a postare il link viewtopic.php?f=36&t=112650
Ecco il mio problema!
Allora per il punto 2 l'integrale da impostare è:
$\int_0^(\pi/2)\int_0^(2\sin^2(2\theta))\rho\ d\rho\ d\theta$
Il $\rho$ che compare nel'integrale è lo jacobiano e ha una giustificazione sia formale, ma anche intuitiva se vogliamo.
Poi c'è Gauss Green.
Qui possiamo scrivere che $\intPd\rho+Qd\theta=\int\int((\partialQ)/(\partial\rho)-(\partialP)/(\partial\theta))$
e per te $(\partialQ)/(\partial\rho)=\rho$
$\int_0^(\pi/2)\int_0^(2\sin^2(2\theta))\rho\ d\rho\ d\theta$
Il $\rho$ che compare nel'integrale è lo jacobiano e ha una giustificazione sia formale, ma anche intuitiva se vogliamo.
Poi c'è Gauss Green.
Qui possiamo scrivere che $\intPd\rho+Qd\theta=\int\int((\partialQ)/(\partial\rho)-(\partialP)/(\partial\theta))$
e per te $(\partialQ)/(\partial\rho)=\rho$
Da dove escono P e Q? Potresti darmi qualche accenno di teoria?
Non trovo il legame con la mia formula
e comunque io avevo dimenticato il \(\displaystyle \rho \) nell'integrale
Non trovo il legame con la mia formula
"Lightmind":
\(\displaystyle \iint_ D \partial f/ \partial x dxdy = \int_{+ \partial D} f dy\)
e comunque io avevo dimenticato il \(\displaystyle \rho \) nell'integrale
Il legame con la tua formula c'è eccome, basta che metti $P$ o $Q$ a zero !
Io continuo a chiamarle $P$ e $Q$ perchè le ho sempre viste così.
Ascolta, ma perchè invece di perdere tempo con questo esercizio non trovi degli esercizi svolti (basta cercare su Google), es: http://dm.ing.unibs.it/~riccarda.rossi/ ... _Green.pdf fai un po' di pratica con la formula, con dei casi più semplici e poi torni su questo esercizio.
Questo esercizio confonde le idee perchè è da fare in coordinate polari, che appunto, confondono le idee.
Lascia perdere la teoria per ora, non è proprio semplicissima da capire anche se non è nulla di speciale.
Io continuo a chiamarle $P$ e $Q$ perchè le ho sempre viste così.
Ascolta, ma perchè invece di perdere tempo con questo esercizio non trovi degli esercizi svolti (basta cercare su Google), es: http://dm.ing.unibs.it/~riccarda.rossi/ ... _Green.pdf fai un po' di pratica con la formula, con dei casi più semplici e poi torni su questo esercizio.
Questo esercizio confonde le idee perchè è da fare in coordinate polari, che appunto, confondono le idee.
Lascia perdere la teoria per ora, non è proprio semplicissima da capire anche se non è nulla di speciale.
Grazie tante per tutto!!!
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