Formule di fisica con i differenziali
Ho appena fatto analisi 1, ma ci sono argomenti come i differenziali che non ho ancora fatto, ma in alcune formule di fisica, ci sono, e vorrei capire come funzionano, o meglio come funzionano nei miei casi.
ad esempio:
La formula generale è:
$M_e=(M_2)*((T_2-T*)/(T*-T_1))-M_1$
ora, se voglio sapere:
$|(deltaM_e)/(delta_(M_2))|*deltaM_2=((T_2-T*)/(T*-T_1))*deltaM_2$
dove però $deltaM_2$ in fisica sarebbe l'errore massimo, messo con il triangolino.
Mentre quelli in valore assoluto sarebbero i differenziali (che io credevo che fossero un nuovo tipo di derivata)
Potete spiegarmi come è venuto fuori il secondo membro?
Inoltre ci sarebbe anche questa che davvero non capisco:
$|(delta(M_e))/(delta(T_1))|*deltaT_1=(M_e)*((T_2-T*)/(T*-T_1)^2)*delta_(T_1)$
ad esempio:
La formula generale è:
$M_e=(M_2)*((T_2-T*)/(T*-T_1))-M_1$
ora, se voglio sapere:
$|(deltaM_e)/(delta_(M_2))|*deltaM_2=((T_2-T*)/(T*-T_1))*deltaM_2$
dove però $deltaM_2$ in fisica sarebbe l'errore massimo, messo con il triangolino.
Mentre quelli in valore assoluto sarebbero i differenziali (che io credevo che fossero un nuovo tipo di derivata)
Potete spiegarmi come è venuto fuori il secondo membro?
Inoltre ci sarebbe anche questa che davvero non capisco:
$|(delta(M_e))/(delta(T_1))|*deltaT_1=(M_e)*((T_2-T*)/(T*-T_1)^2)*delta_(T_1)$
Risposte
puoi scrivere [tex]\frac{dM_e}{dM_2}=\frac{T_2-T}{T-T_1}[/tex] poiché immagino che nella tua formula quei [tex]T[/tex] non dipendano da [tex]M_2[/tex]
ora se introduci il [tex]dM_2[/tex] che è una "variazione infinitesima" (non chiedermi che voglia dire, è una specie di numero che è circa 0, ma non lo è)
puoi dire [tex]\frac{dM_e}{dM_2} dM_2= \frac{T_2-T}{T-T_1} dM_2[/tex]
è come se tu avessi linearizzato [tex]M_e[/tex] e dicessi che per ogni spostamento infinitesimo vale quella roba là.
Analogamente lo fai per la formula dopo, si riconosce la derivata rispetto al denominatore...
potrei aver detto qualcosa che matematicamente non ha senso e se così fosse spero di essere contraddetto al più presto
ora se introduci il [tex]dM_2[/tex] che è una "variazione infinitesima" (non chiedermi che voglia dire, è una specie di numero che è circa 0, ma non lo è)
puoi dire [tex]\frac{dM_e}{dM_2} dM_2= \frac{T_2-T}{T-T_1} dM_2[/tex]
è come se tu avessi linearizzato [tex]M_e[/tex] e dicessi che per ogni spostamento infinitesimo vale quella roba là.
Analogamente lo fai per la formula dopo, si riconosce la derivata rispetto al denominatore...
potrei aver detto qualcosa che matematicamente non ha senso e se così fosse spero di essere contraddetto al più presto
Sono un pò confuso, a dire il vero :S
nel primo membro, non sarebbe proprio un delta, ma un 6 simmetrico, che si legge differenziale.
Ora per la prima formula, scompare $M_1$ perchè è come se 'facessi' la derivata a $M_1$ che in quanto un numero, una costante, è $0$. Ma cosa succede 'matematicamente' a $M_2$?
Io vorrei capire 'il meccanismo', come si arriva al secondo membro.
nel primo membro, non sarebbe proprio un delta, ma un 6 simmetrico, che si legge differenziale.
Ora per la prima formula, scompare $M_1$ perchè è come se 'facessi' la derivata a $M_1$ che in quanto un numero, una costante, è $0$. Ma cosa succede 'matematicamente' a $M_2$?
Io vorrei capire 'il meccanismo', come si arriva al secondo membro.
$M_2$ è la variabile rispetto a cui derivi.. è come se facessi la derivata rispetto ad x di $ kx$, otterrai $k$, no ?
cioè, dovrei vedere $M_e=y$ ?
"Ué! Maro'...!" la vecchia
e vexata questione... . Se n'è parlato tanto su questo Forum. Eh! in Fisica
si manipolano FORMALMENTE con disivoltura i differenziali; c'è
da dire che le funzioni che si considerano rispondono a criteri di regolarità, e non si fanno errori... .
fatto sta che io Mi RIFIUTO (perchè non ha alcun senso) a dire: "ora divido per $"d"t$... .
Scrivo implicazioni, per esempio:
$ c"d"T="d"q =T"d"S rArr T(delS)/(delT)=c$
Ma SO! che è un implicazione. $("d"f)/("d"x)$ NOOOON è una divisione.
(scusate le maiuscole, ma è un punto importante). Non
è sbagliato il procedimento in fisica; non bisogna però "letteralmente"
'intendere' $"d"x$ come "quantità infinitesima... ". Posso
dire: considero una quantità che tenda a zero - posso scrivere questa
relazione tra differenziali.
Ieri pomeriggio proprio, studiando Chimica insieme ad un collega, e c'imbattemmo
in tali passaggi, mi "divertìi" a dargli
la definizione di $"d"x$ -
vettore della base dello spazio cotangente una varietà differenziale.
. E NON c'è una "divisione" -(tra vettori?).
Bisogna procedere correttamente, ed è molto
utile come si fa in fisica; ma non c'è alcun bisogno! di
prender fischi per fiaschi! né?
e vexata questione... . Se n'è parlato tanto su questo Forum. Eh! in Fisica
si manipolano FORMALMENTE con disivoltura i differenziali; c'è
da dire che le funzioni che si considerano rispondono a criteri di regolarità, e non si fanno errori... .
fatto sta che io Mi RIFIUTO (perchè non ha alcun senso) a dire: "ora divido per $"d"t$... .
Scrivo implicazioni, per esempio:
$ c"d"T="d"q =T"d"S rArr T(delS)/(delT)=c$
Ma SO! che è un implicazione. $("d"f)/("d"x)$ NOOOON è una divisione.
(scusate le maiuscole, ma è un punto importante). Non
è sbagliato il procedimento in fisica; non bisogna però "letteralmente"
'intendere' $"d"x$ come "quantità infinitesima... ". Posso
dire: considero una quantità che tenda a zero - posso scrivere questa
relazione tra differenziali.
Ieri pomeriggio proprio, studiando Chimica insieme ad un collega, e c'imbattemmo
in tali passaggi, mi "divertìi" a dargli
la definizione di $"d"x$ -
vettore della base dello spazio cotangente una varietà differenziale.
. E NON c'è una "divisione" -(tra vettori?).Bisogna procedere correttamente, ed è molto
utile come si fa in fisica; ma non c'è alcun bisogno! di
prender fischi per fiaschi! né?
hai ragione i fisici parlano di divisioni tra differenziali in modo troppo disinvolto,
ma in questo post nessuno ha ancora parlato di dividere!!!
Fai comunque bene a mettere le mani avanti è un errore troppo diffuso.
Già che ci siamo posto una mia perplessità:
ma in matematica si accettano formalmente le quantità infinitesime?
Perché ero convinto che anche questo tipo di interpretazione fosse considerata più euristica che formale...
ovvero un numero infinitesimo che è? Un numero abbastanza piccolo tale per cui va bene l'approssimazione lineare?
ma in questo post nessuno ha ancora parlato di dividere!!!
Fai comunque bene a mettere le mani avanti è un errore troppo diffuso.Già che ci siamo posto una mia perplessità:
ma in matematica si accettano formalmente le quantità infinitesime?
Perché ero convinto che anche questo tipo di interpretazione fosse considerata più euristica che formale...
ovvero un numero infinitesimo che è? Un numero abbastanza piccolo tale per cui va bene l'approssimazione lineare?
"orazioster":
"Ué! Maro'...!" la vecchia
e vexata questione... . Se n'è parlato tanto su questo Forum. Eh! in Fisica
si manipolano FORMALMENTE con disivoltura i differenziali; c'è
da dire che le funzioni che si considerano rispondono a criteri di regolarità, e non si fanno errori... .
fatto sta che io Mi RIFIUTO (perchè non ha alcun senso) a dire: "ora divido per $"d"t$... .
Scrivo implicazioni, per esempio:
$ c"d"T="d"q =T"d"S rArr T(delS)/(delT)=c$
Ma SO! che è un implicazione. $("d"f)/("d"x)$ NOOOON è una divisione.
(scusate le maiuscole, ma è un punto importante). Non
è sbagliato il procedimento in fisica; non bisogna però "letteralmente"
'intendere' $"d"x$ come "quantità infinitesima... ". Posso
dire: considero una quantità che tenda a zero - posso scrivere questa
relazione tra differenziali.
Ieri pomeriggio proprio, studiando Chimica insieme ad un collega, e c'imbattemmo
in tali passaggi, mi "divertìi" a dargli
la definizione di $"d"x$ -
vettore della base dello spazio cotangente una varietà differenziale.
Bisogna procedere correttamente, ed è molto
utile come si fa in fisica; ma non c'è alcun bisogno! di
prender fischi per fiaschi! né?
In poche parole, è fare la derivata?
Io non ho proprio menzionato vettori, nè divisioni, neppure di $dx$ infinitesimi, volevo semplicemene capire i vari meccanismi che mi portano al secondo membro o la formula generale, ecco.
Gran bel post Eredir, complimenti!
"fireball":
Gran bel post Eredir, complimenti!
Per così poco.
Ciao Eredir, grazie della disponibilità, ho letto la parte che hai scritto tu, quella dimostrazione non capisco se riguarda il mio caso, cioè un metodo per venire a capo della mia domanda, o è un imput.
Tuttavia, ripartendo da 0.
La formula iniziale è la formula per ricavarmi la massa equivalente in acqua.
Ora devo trovare gli errori.
La prima formula dell'errore l'ho capita.
La seconda ho iniziato a rivederla dal principio.
$M_1$ nella derivazione è una costante e va a $0$, ma al denominatore perchè compare $(T*-T_1)^2$?
se si deve usare la regola di derivazione, al numeratore perchè ricompare tale e quale $T_2-T*$?
questo è il mio gran dubbio, che non riesco a risolvere
Tuttavia, ripartendo da 0.
La formula iniziale è la formula per ricavarmi la massa equivalente in acqua.
Ora devo trovare gli errori.
La prima formula dell'errore l'ho capita.
La seconda ho iniziato a rivederla dal principio.
$M_1$ nella derivazione è una costante e va a $0$, ma al denominatore perchè compare $(T*-T_1)^2$?
se si deve usare la regola di derivazione, al numeratore perchè ricompare tale e quale $T_2-T*$?
questo è il mio gran dubbio, che non riesco a risolvere
"clever":
Ciao Eredir, grazie della disponibilità, ho letto la parte che hai scritto tu, quella dimostrazione non capisco se riguarda il mio caso, cioè un metodo per venire a capo della mia domanda, o è un imput.
E' semplicemente un'osservazione di carattere generale sull'utilizzo dei "differenziali" in fisica.
"clever":
La seconda ho iniziato a rivederla dal principio.
$M_1$ nella derivazione è una costante e va a $0$, ma al denominatore perchè compare $(T*-T_1)^2$?
se si deve usare la regola di derivazione, al numeratore perchè ricompare tale e quale $T_2-T*$?
questo è il mio gran dubbio, che non riesco a risolvere
Abbiamo la relazione [tex]$M_{e} = M_{2} \frac{T - T^*}{T^*- T_{1}} - M_{1}$[/tex] e vogliamo stimare di quanto cambia [tex]M_{e}[/tex] se facciamo un piccolo incremento [tex]\Delta T_{1}[/tex] di [tex]T_{1}[/tex].
Dobbiamo allora valutare la differenza [tex]M_{e}(T_{1} + \Delta T_{1}) - M_{e}(T_{1})[/tex]. Il primo termine può essere approssimato sviluppandolo in serie di Taylor al primo ordine in [tex]\Delta T_{1}[/tex].
Facendo lo sviluppo otteniamo allora
[tex]$M_{e}(T_{1} + \Delta T_{1}) - M_{e}(T_{1}) \approx M_{e}(T_{1}) + \frac{\partial M_{e}}{\partial T_{1}} \Delta T_{1} - M_{e}(T_{1}) = \frac{\partial M_{e}}{\partial T_{1}} \Delta T_{1} = M_{2} \frac{T - T^*}{(T^*- T_{1})^2} \Delta T_{1}$[/tex]
Fisicamente [tex]\Delta T_{1}[/tex] corrisponde all'errore nella misura di [tex]T_{1}[/tex], di conseguenza la formula sopra stima l'errore per [tex]M_{e}(T_{1})[/tex].
"Eredir":
[quote="clever"]Ciao Eredir, grazie della disponibilità, ho letto la parte che hai scritto tu, quella dimostrazione non capisco se riguarda il mio caso, cioè un metodo per venire a capo della mia domanda, o è un imput.
E' semplicemente un'osservazione di carattere generale sull'utilizzo dei "differenziali" in fisica.
"clever":
La seconda ho iniziato a rivederla dal principio.
$M_1$ nella derivazione è una costante e va a $0$, ma al denominatore perchè compare $(T*-T_1)^2$?
se si deve usare la regola di derivazione, al numeratore perchè ricompare tale e quale $T_2-T*$?
questo è il mio gran dubbio, che non riesco a risolvere
Abbiamo la relazione [tex]$M_{e} = M_{2} \frac{T - T^*}{T^*- T_{1}} - M_{1}$[/tex] e vogliamo stimare di quanto cambia [tex]M_{e}[/tex] se facciamo un piccolo incremento [tex]\Delta T_{1}[/tex] di [tex]T_{1}[/tex].
Dobbiamo allora valutare la differenza [tex]M_{e}(T_{1} + \Delta T_{1}) - M_{e}(T_{1})[/tex]. Il primo termine può essere approssimato sviluppandolo in serie di Taylor al primo ordine in [tex]\Delta T_{1}[/tex].
Facendo lo sviluppo otteniamo allora
[tex]$M_{e}(T_{1} + \Delta T_{1}) - M_{e}(T_{1}) \approx M_{e}(T_{1}) + \frac{\partial M_{e}}{\partial T_{1}} \Delta T_{1} - M_{e}(T_{1}) = \frac{\partial M_{e}}{\partial T_{1}} \Delta T_{1} = M_{2} \frac{T - T^*}{(T^*- T_{1})^2} \Delta T_{1}$[/tex]
Fisicamente [tex]\Delta T_{1}[/tex] corrisponde all'errore nella misura di [tex]T_{1}[/tex], di conseguenza la formula sopra stima l'errore per [tex]M_{e}(T_{1})[/tex].[/quote]
Ho capito tutto il ragionamento, tranne, proprio come fa a venire l'ultima relazione in:
[tex]$M_{e}(T_{1} + \Delta T_{1}) - M_{e}(T_{1}) \approx M_{e}(T_{1}) + \frac{\partial M_{e}}{\partial T_{1}} \Delta T_{1} - M_{e}(T_{1}) = \frac{\partial M_{e}}{\partial T_{1}} \Delta T_{1} = M_{2} \frac{T - T^*}{(T^*- T_{1})^2} \Delta T_{1}$[/tex]
vorrei capire propri i passaggi 'matematici', se me li scrivessi, sarebbe molto importante per capire (per me).
sopratutto non capisco perchè al denominatore è al quadrato. :S
è scritto qui:
dato che [tex]\Delta T_1[/tex] lo stai considerando infinitesimo (cioè molto piccolo ma non zero, tale che vale l'approssimazione lineare), allora linearizzi...
"Eredir":
Dobbiamo allora valutare la differenza [tex]M_{e}(T_{1} + \Delta T_{1}) - M_{e}(T_{1})[/tex]. Il primo termine può essere approssimato sviluppandolo in serie di Taylor al primo ordine in [tex]\Delta T_{1}[/tex].
dato che [tex]\Delta T_1[/tex] lo stai considerando infinitesimo (cioè molto piccolo ma non zero, tale che vale l'approssimazione lineare), allora linearizzi...
Cioè si usa Taylor e derivo sotto?
Scusa ma mi sto perdendo
Scusa ma mi sto perdendo
Il punto è che matematicamente il differenziale di una funzione è definito come la parte lineare della funzione in quel punto
[tex]df(x):=f'(x) dx[/tex]
e dato che ogni funzione in un'intorno abbastanza piccolo è lineare
l'interpretazione più intuitiva dice che le "piccole variazioni" di una funzione sono legate alle "piccole variazioni" della variabile da cui dipende mediante la derivata
[tex]df(x)=f'(x) dx[/tex]
ma attento a che vuol dire piccolo.
Io la vedo così.
[tex]df(x):=f'(x) dx[/tex]
e dato che ogni funzione in un'intorno abbastanza piccolo è lineare
l'interpretazione più intuitiva dice che le "piccole variazioni" di una funzione sono legate alle "piccole variazioni" della variabile da cui dipende mediante la derivata
[tex]df(x)=f'(x) dx[/tex]
ma attento a che vuol dire piccolo.
Io la vedo così.
Quindi alla fine sotto c'è il quadrato, giusto perchè tu ci fai la derivata.
"Fox":AH-EHM!
e dato che ogni funzione in un intorno abbastanza piccolo è lineare
Va bene il discorso intuitivo ma c'è un limite a tutto, però!
@clever: Non proprio "ogni" funzione si comporta come dice Fox. Solo quelle differenziabili.
beh si in effetti bisogna supporre la differenziabilità...
che i fisici suppongono quasi sempre
comunque in generale per quelle funzioni non differenziabili non potresti definire, appunto, un differenziale [tex]df[/tex].
già che ci sono, dissonance, quanto è rigoroso il concetto di infinitesimo? Sicuramente in maniera formale non sarà una quantità molto piccola... no?
che i fisici suppongono quasi sempre
comunque in generale per quelle funzioni non differenziabili non potresti definire, appunto, un differenziale [tex]df[/tex].
già che ci sono, dissonance, quanto è rigoroso il concetto di infinitesimo? Sicuramente in maniera formale non sarà una quantità molto piccola... no?
up...
mi pare di aver capito una cosa leggendo a giro per il forum.
Per un matematico che non usa l'analisi non standard il concetto di infinitesimo non ha senso vero?
mi pare di aver capito una cosa leggendo a giro per il forum.
Per un matematico che non usa l'analisi non standard il concetto di infinitesimo non ha senso vero?
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