Formule di Eulero e Trigonometria
Salve, potete spiegarmi come si ricavano le seguenti relazioni?
$cosx = \frac(e^(ix)+e^(-ix))(2)$
$sinx = \frac(e^(ix)-e^(-ix))(2i)$
e poi perchè $sin(\omegax) + cos(\omegax)$ lo posso scrivere come $Asin(\omegax + \varphi)$ ?
$cosx = \frac(e^(ix)+e^(-ix))(2)$
$sinx = \frac(e^(ix)-e^(-ix))(2i)$
e poi perchè $sin(\omegax) + cos(\omegax)$ lo posso scrivere come $Asin(\omegax + \varphi)$ ?
Risposte
allora..
nel denominatore del coseno compare cmq una i.
Per la dimostrazione credo che lo ricavi dalle formule generali,sottraendo e sommando tali relazioni che sono;
$ e^(ix) = cos x + i*senx$
$ e^(-ix)= cos x - i*senx $
per la seconda domanda credo che le cose sono completamente differenti perchè $Asin(ωx+ϕ)$ rappresenta una eq. armonica con una determinata fase.
nel denominatore del coseno compare cmq una i.
Per la dimostrazione credo che lo ricavi dalle formule generali,sottraendo e sommando tali relazioni che sono;
$ e^(ix) = cos x + i*senx$
$ e^(-ix)= cos x - i*senx $
per la seconda domanda credo che le cose sono completamente differenti perchè $Asin(ωx+ϕ)$ rappresenta una eq. armonica con una determinata fase.
Salve ragazzi, sono nuovo di questo Forum e questo è il mio primo messaggio.
Detto ciò volevo dire che sono d'accordo con Moreno88 per la dimostrazone del senx e cosx in funzione degli esponenziali e dell'unità immaginaria. Per il secondo quesito, la mia interpretazione è l seguente:
Se consideriamo f(x)=AsenWx -BcosWx questa può scriversi sempre come g(x)=Csen(Wx -phi) in quanto se proviamo a sviliuppare g(x) con le formule di addizione del seno abbiamo esattamente g(x)= C senWt cos phi -C cosWt sen phi ;
Imponendo il principio di identità dei polinomi otteniamo che, affinchè g(x) sia eguale a f(x), si deve avere che:
A=C cos phi; B=C sen phi; se sommiamo i quadrati di A e B otteniamo che A^2 + B^2 = C^2 =>C= radice di( A^2 + B^2); il valore che deve assumere phi invece lo si ricava in questo modo: Facciamo il rapporto tra B e A; questo mi da esattamente che tg phi = B/A =>phi = arctg(B/A).
Spero di non aver scritto boiate
Ciao!
Detto ciò volevo dire che sono d'accordo con Moreno88 per la dimostrazone del senx e cosx in funzione degli esponenziali e dell'unità immaginaria. Per il secondo quesito, la mia interpretazione è l seguente:
Se consideriamo f(x)=AsenWx -BcosWx questa può scriversi sempre come g(x)=Csen(Wx -phi) in quanto se proviamo a sviliuppare g(x) con le formule di addizione del seno abbiamo esattamente g(x)= C senWt cos phi -C cosWt sen phi ;
Imponendo il principio di identità dei polinomi otteniamo che, affinchè g(x) sia eguale a f(x), si deve avere che:
A=C cos phi; B=C sen phi; se sommiamo i quadrati di A e B otteniamo che A^2 + B^2 = C^2 =>C= radice di( A^2 + B^2); il valore che deve assumere phi invece lo si ricava in questo modo: Facciamo il rapporto tra B e A; questo mi da esattamente che tg phi = B/A =>phi = arctg(B/A).
Spero di non aver scritto boiate
Ciao!
e invece se ho $f(t)= Asin(\omegat + \theta) + Bcos(\omegat + \phi)$ cosa devo modificare alla formula di prima $Ksin(\omegat + \varphi + ???)$?
Beh in questo caso non è così ovvia la risposta: Credo che cmq possiamocercare di scrivere f(t) in g(t)=Csen(Wt + phi); senza nessuna fase aggiuntiva. La mia proposta è la seguente:
Dato che compare una fase anche negli addendi di f(t) io svilupperei pure quelli con le formule di addizione(oltre che svluppare ovviamente anche g(t)); le condizioni di uguaglianza sono, se non ho fatto errori di calcolo(Indicando f(t)=Asen(Wt + teta)+ B cos(Wt + alfa)) : Acos teta - B sen alfa = C cos Phi (1)
e A sen teta + B cos alfa = C sen Phi. (2)
Facendo il rapporto tra la seconda e la prma equazione mi ricavo che Phi= arctg[ (Asen teta + B cos alfa)/( A cos teta - B sen alfa)].
Per ricavare la costante C possiamo usare tre metodi : ricavarci ad esempio A dalla (1) e sostituirla nella (2); e da qui ricavare la C; possiamo sennò ricavarci la C direttamente dalla (1) oppure direttamente dalla (2);
Sinceramente non so quali delle 3 è la più corretta...forse non cambia nulla, nel senso che il valore di C deve essere per forza lo stesso, però magari potrebbe essere più interessante ricavarsi C in funzione di alcuni valori piuttosto che in funzione di altri(come difatti accade utilizzando questi 3 metodi....voi che ne dite?)
P.S. Scusate se scrivo brutalmente le formule a mano, ma non ho ancora capito come funziona l'editor delle equazioni...magari qualcuno potrebbe farmi capire come si fa?
Grazie
Ciao!!!
Dato che compare una fase anche negli addendi di f(t) io svilupperei pure quelli con le formule di addizione(oltre che svluppare ovviamente anche g(t)); le condizioni di uguaglianza sono, se non ho fatto errori di calcolo(Indicando f(t)=Asen(Wt + teta)+ B cos(Wt + alfa)) : Acos teta - B sen alfa = C cos Phi (1)
e A sen teta + B cos alfa = C sen Phi. (2)
Facendo il rapporto tra la seconda e la prma equazione mi ricavo che Phi= arctg[ (Asen teta + B cos alfa)/( A cos teta - B sen alfa)].
Per ricavare la costante C possiamo usare tre metodi : ricavarci ad esempio A dalla (1) e sostituirla nella (2); e da qui ricavare la C; possiamo sennò ricavarci la C direttamente dalla (1) oppure direttamente dalla (2);
Sinceramente non so quali delle 3 è la più corretta...forse non cambia nulla, nel senso che il valore di C deve essere per forza lo stesso, però magari potrebbe essere più interessante ricavarsi C in funzione di alcuni valori piuttosto che in funzione di altri(come difatti accade utilizzando questi 3 metodi....voi che ne dite?)
P.S. Scusate se scrivo brutalmente le formule a mano, ma non ho ancora capito come funziona l'editor delle equazioni...magari qualcuno potrebbe farmi capire come si fa?
Grazie
Ciao!!!
nn capisco cio che hai chiesto
cosa devi calcolare?a che ti serve?
e invece se ho f(t)=Asin(ωt+θ)+Bcos(ωt+φ) cosa devo modificare alla formula di prima Ksin(ωt+ϕ+???)?
cosa devi calcolare?a che ti serve?
"moreno88":
allora..
nel denominatore del coseno compare cmq una i.
No.
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