Formule di Cauchy
Determinare il valore di $1/(2pii)int e^(zt)/((z^2+1)^2)dz$. Arrivo a calcolare i residui, ma a quanto pare sbaglio da qualche parte e non arrivo al risultato giusto.
Grazie, saluti.
Grazie, saluti.
Risposte
t è un numero reale? lungo quale cammino devi integrare?
può anche venire zero... dipende dalla curva lungo cui integri
Ha ragione Kroldar,serve un cammino d'integrazione.Poiche la f(z) ha due
poli (doppi) in $z=+-i$ di modulo =1 conviene prendere come cammino la
circonferenza |z|=a con centro nell'origine del piano di Gauss e raggio a>1
Il residuo $R_1$ in z=-i e':
$R_1=lim_(z->-i)1/(1!)d/(dz)[e^(zt)/(z-i)^2]=(-2ite^(-it)-2e^(-it))/(8i)=-(1)/4te^(-it)-(1)/(4i)e^(-it)$
Analogamente il residuo $R_2$ e' (basta cambiare i in -i):
$$R_2=-(1)/4te^(it)+(1)/(4i)e^(it)$$
Pertanto,semplificando $2 pi i$,l'integrale L richiesto e':
$L=1/2*(e^(it)-e^(-it))/(2i)-t/2*(e^(it)+e^(-it))/2=1/2(sint-tcost)$
Per $a<=1$ risulta L=0
Archimede
poli (doppi) in $z=+-i$ di modulo =1 conviene prendere come cammino la
circonferenza |z|=a con centro nell'origine del piano di Gauss e raggio a>1
Il residuo $R_1$ in z=-i e':
$R_1=lim_(z->-i)1/(1!)d/(dz)[e^(zt)/(z-i)^2]=(-2ite^(-it)-2e^(-it))/(8i)=-(1)/4te^(-it)-(1)/(4i)e^(-it)$
Analogamente il residuo $R_2$ e' (basta cambiare i in -i):
$$R_2=-(1)/4te^(it)+(1)/(4i)e^(it)$$
Pertanto,semplificando $2 pi i$,l'integrale L richiesto e':
$L=1/2*(e^(it)-e^(-it))/(2i)-t/2*(e^(it)+e^(-it))/2=1/2(sint-tcost)$
Per $a<=1$ risulta L=0
Archimede
Sì. scusate, era nel cerchio $|z|=3$. Grazie, era questo il risultato.
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