Formulazione Principio del Buon Ordinamento.
Sia $ M sub NN$ non vuoto. Allora, in M esiste un elemento più piccolo di tutti gli altri elementi di M.
Dimostrazione. Se $ 1 in M $, non vi è più nulla da provare. Supponiamo, adesso, che $1 notin M $ ; definiamo il seguente insieme
$ H ={u in NN$ \ $M,u<=m AA m in M}
$H$ è non vuoto, dal momento che $1 in H$ , e certo non coincide con $ NN $, visto che $ M != \theta $ <-- Insieme vuoto .
Se per ogni $ h in H $, si avesse anche $h+1 in H$,dal Principio di Induzione dovrebbe seguire che $H=NN$; se ne deduce che esiste $h_0 in H $ tale che $ h_0+1 notin H $ e che $ h_0
Sappiamo "tutti" che tale enunciato afferma che "Ogni insieme di Numeri Natuarali non vuoto contiene un Minimo"
Ma nella seguente stesura "presa dal mio testo di analisi" fa intendere per dimostrazione "assurda" che $h_0+1$ è sia minimo che estremo inferiore in M ???
Grazie.
Dimostrazione. Se $ 1 in M $, non vi è più nulla da provare. Supponiamo, adesso, che $1 notin M $ ; definiamo il seguente insieme
$ H ={u in NN$ \ $M,u<=m AA m in M}
$H$ è non vuoto, dal momento che $1 in H$ , e certo non coincide con $ NN $, visto che $ M != \theta $ <-- Insieme vuoto .
Se per ogni $ h in H $, si avesse anche $h+1 in H$,dal Principio di Induzione dovrebbe seguire che $H=NN$; se ne deduce che esiste $h_0 in H $ tale che $ h_0+1 notin H $ e che $ h_0
Sappiamo "tutti" che tale enunciato afferma che "Ogni insieme di Numeri Natuarali non vuoto contiene un Minimo"
Ma nella seguente stesura "presa dal mio testo di analisi" fa intendere per dimostrazione "assurda" che $h_0+1$ è sia minimo che estremo inferiore in M ???
Grazie.
Risposte
Ma quella che hai riportato non è mica una dimostrazione per assurdo...
Mi sa che non ho capito il tuo problema dov'è.
Mi sa che non ho capito il tuo problema dov'è.
"Gugo82":
Ma quella che hai riportato non è mica una dimostrazione per assurdo...
Mi sa che non ho capito il tuo problema dov'è.
Quella che ho riportato è la "tesi" presa dal libro ...
il mio problema sta nel capire questa parte finale di ciò che ho riportato prima....
quando dice se ne deduce che esiste$h_0 in H$ tale che $h_0+1 notin H$ se per induzione abbiamo detto prima per $"h"$ che $h in H=>h+1 in H$ , come fa $h_0+1$ a stare in $ M $ ?????
effetivamente, prima dice, se per ogni $h in H$ , Si avesse anche $h+1 in H$
io ho dato per scontato che se esiste l'elemento n nell'insieme esiste anche l'elemento n+1 nell'insieme.
Grazie
Io per la verita' vedo un "buco" nella dimostrazione (ma dipende da cosa hai dimostrato prima di affrontare questo teorema).
Quando prendi $h_0$ che sta in $H$ ma e' tale che $h_0+1\notin H$ come fai a dedurre che $h_0+1\in M$ ?
In effetti qui gioca la proprieta' che tra un intero e il suo consecutivo non ci sono altri elementi di $NN$ - ma questo lo devi provare prima.
Almeno mi sembra
Quando prendi $h_0$ che sta in $H$ ma e' tale che $h_0+1\notin H$ come fai a dedurre che $h_0+1\in M$ ?
In effetti qui gioca la proprieta' che tra un intero e il suo consecutivo non ci sono altri elementi di $NN$ - ma questo lo devi provare prima.
Almeno mi sembra
"ViciousGoblin":
Io per la verita' vedo un "buco" nella dimostrazione (ma dipende da cosa hai dimostrato prima di affrontare questo teorema).
Quando prendi $h_0$ che sta in $H$ ma e' tale che $h_0+1\notin H$ come fai a dedurre che $h_0+1\in M$ ?
In effetti qui gioca la proprieta' che tra un intero e il suo consecutivo non ci sono altri elementi di $NN$ - ma questo lo devi provare prima.
Almeno mi sembra
come fai a dedurre <--- rivolta all'autore del libro.che $h_0+1\in M$ ?
esatto... è questo il punto, io mi sono limitato a copiare parola per parola il paragrafetto del mio testo .
Non l'ho creata io questa spiegazione intendiamoci... quindi diciamo che vorrei capire un pò meglio questo passaggio tutto quì!
grazie
Forse l'autore del testo da per scontato che tra un numero naturale ed il suo successivo non ve ne siano altri.
Molti testi di Analisi lo fanno.
Molti testi di Analisi lo fanno.
"WiZaRd":
Forse l'autore del testo da per scontato che tra un numero naturale ed il suo successivo non ve ne siano altri.
Molti testi di Analisi lo fanno.
sicuramente sarà così!
però a mio modesto parere non è uno dei miglior modi per far capire questo principio.
ponendo $h_0$ come uno dei tanti $u_n$ $ in H$ ma come unico intero tale che $h_0+1 $ diventi il minimo che non è entità di $H$ ma viene definito appunto $<= AA m in M$ ponendolo "minimo" $m in M$
bho. vabè....
Grazie.
"mat100":
[quote="WiZaRd"]Forse l'autore del testo da per scontato che tra un numero naturale ed il suo successivo non ve ne siano altri.
Molti testi di Analisi lo fanno.
sicuramente sarà così!
però a mio modesto parere non è uno dei miglior modi per far capire questo principio.
ponendo $h_0$ come uno dei tanti $u_n$ $ in H$ ma come unico intero tale che $h_0+1 $ diventi il minimo che non è entità di $H$ ma viene definito appunto $<= AA m in M$ ponendolo "minimo" $m in M$
bho. vabè....
Grazie.
[/quote]Scusate ma se si da' per scontato una cosa del genere allora e' perfettamente inutile "fare i ganzi" (come dicono qui in Toscana) e fare dimostrazioni come quella di cui si sta parlando. Il fatto che tra
un intero e quello successivo non ci siano altri interi e' conseguenza degli assiomi. Per vederlo bisognerebbe sapere in che forma gli assiomi sono stato introdotti - in particolare come e' stato definito
l'ordine.
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