Formulazione integrale del problema di Cauchy

[lor_fra]

Salve ragazzi
Sto studiando analisi 2 per l'esame e ho trovato alcune difficolta nella dimostrazione della formulazione integrale del problema di Cauchy.
Non riesco a capire quando integra entrambi i membri di y'(x)=f(x,y(x))
Come si fa a integrare la funzione in piu variabili f(x,y(x))?io conosco solo l integrazione di funzioni reali in variabile reale,il libro dice che integra componente per componente ma le componenti di f(x,y(x)) sono sempre funzioni di n+1 variabili dato che y(x) va da R a R^n.

[Noisemaker]

Ma infatti non devi calcolare nessun integrale, perchè se cosi fosse saremo in grado di risolvere tutte le equazioni differenziali. Cambiando faccia al problema di Cauchy
\[
\begin{cases}
y'(x)=f\left(x;y(x)\right)\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}, \tag 1
\]
cioè anzichè considerarlo dal punto di vista differenziale, lo consideriamo dal punto di vista integrale integrando ambo i membri tra $x_0$ e $x$ otteniamo:
\begin{align*}
\int_{x_0}^{x}y'(t)\,\,dt&= \int_{x_0}^{x}f\left(t;y(t)\right)\,\,dt\\
\Rightarrow\quad\left. y'(t)\right|_{x_0}^{x}&= \int_{x_0}^{x}f\left(t;y(t)\right)\,\,dt \\
\Rightarrow y(x)-y(x_0)&=\int_{x_0}^{x}f\left(t;y(t)\right)\,\,dt\\
y(x)-y_0&=\int_{x_0}^{x}f\left(t;y(t)\right)\,\,dt.\tag 2
\end{align*}
Naturalmente, l'integrale a secondo membro delle $(2)$ non siamo in grado di risolverlo, ma siamo passati dal problema di Cauchy $(1)$ in forma differenzaile al problema di Cauchy $2 $ forma integrale tra loro equivalenti: infatti derivando ambo i membri della $2$ otteniamo:
\begin{align*}
\left[y(x)-y_0\right]'&= \left[\int_{x_0}^{x}f\left(t;y(t)\right)\,\,dt\right]'\quad\Rightarrow\quad y'(x)= f\left(x;y(x)\right),
\end{align*}
e calcolando sempre la $(2)$nel punto $x_0 $ otteniamo:
\begin{align*}
y(x_0)-y_0 &= \int_{x_0}^{x_0}f\left(t;y(t)\right)\,\,dt \quad\Rightarrow\quad y(x_0)-y_0 =0 \quad\Rightarrow\quad y(x_0)=y_0.
\end{align*}
Dunque le $1$ e $2$ sono due formulazioni equivalenti dello stesso problema di Cauchy: cercare una soluzione $y(x)$ che soddisfa la $1$ equivale a trovare una $y(x)$ che soddisfa la $2.$

[lor_fra]

Il problema principale é che non riesco a capire concettualmente il significato dell integrale di f(x,y(x)) perche non ho mai visto funzioni in piu variabili sotto il segno d integrale....ho pensato che l integrale di f(x,y(x)) ha senso solo se conosciamo y(x) perche in quel caso possiano vedere f(x,y(x)) come una funzione nella sola variabile x.Spero di aver reso l idea del mio problema e grazie mille per la risposta.