Formulazione debole di un sistema di PDE

[zluigi1]

Ciao a tutti e grazie per l'aiuto!
Devo scrivere la formulazione debole della seguente equazione alle derivate parziali:
\[-\Delta u -\nabla div(u) -\nabla(u\cdot e_z)+e_z div(u)=f\]
Ho problemi sulla parte in cui è presente il versore $e_z$. Posso applicare il teorema di Green anche a $\nabla(u\cdot e_z)$?.
Grazie Mille per la disponibilità
Luigi

[gugo82]

La \(u\) è una funzione vettoriale, I guess...

Quindi quello è un sistema di equazioni, non una singola PDE.

[zluigi1]

Si,ovviamente hai ragione e io ovviamente ho scritto una cavolata!,$u\in\mathbb{R}^3$.
il mi oproblema è che devo risolvere questo sistema con i metodi fem e quindi ho bisogno della formulazione debole, i termini con il vettore $e_z$, non so come trattarli.
i primi due termini, omettendo il segno di integrale, diventano:
\[\nabla u:\nabla w -div(u)*div(w)\]
con $w$ funzione test che si annulla sul bordo del dominio di integrazione.
Per gli altri due termini, come detto, non so bene che fare..
Luigi
PS ma magari sono solo idiota io e il sistema diventa semplicemente:
\[\int_{\Omega} \nabla u :\nabla w -div(u)*div(w) - \nabla(u\cdot e_z)\cdot w + e_zdiv(u)\cdot w-f\cdot w=0\]