Formula sul differenziale a più variabili
Stavo provando a dimostrare la seguente
$d^n(f((x))= (df)^n$
procedendo per induzione. Per $n=1$ è vero. Passo
$d^n(f(x)) = d(d^(n-1)f(x))=d((d(f(x))^(n-1))=(n-1) (df(x))^(n-2) d^2 f(x) = (n-1) (df(x))^(n-2) (df(x))^2 $ $=(n-1) (df(x))^n$
Mi stupisce quel fattore (n-1)...dove sbaglio?
$d^n(f((x))= (df)^n$
procedendo per induzione. Per $n=1$ è vero. Passo
$d^n(f(x)) = d(d^(n-1)f(x))=d((d(f(x))^(n-1))=(n-1) (df(x))^(n-2) d^2 f(x) = (n-1) (df(x))^(n-2) (df(x))^2 $ $=(n-1) (df(x))^n$
Mi stupisce quel fattore (n-1)...dove sbaglio?
Risposte
Che significa \(\text{d}^n f(x)\)?
Che significa \((\text{d} f(x))^n\)?
Che significa \((\text{d} f(x))^n\)?
la prima "differenziale ennesimo". la seconda "differenziale primo elevato a n"
Si, l'avevo capito... Ma che cosa sono, matematicamente parlando?
Il differenziale \(\text{d} f(x)\) è un'applicazione lineare di \(\mathbb{R}\) in sé, precisamente quella che assegna \(\Big(\text{d}^n f(x)\Big) (h) = f^\prime (x)\ h\) ad ogni \(h\in \mathbb{R}\).
Il differenziale secondo cos'è?
E quello terzo?
Il differenziale \(\text{d} f(x)\) è un'applicazione lineare di \(\mathbb{R}\) in sé, precisamente quella che assegna \(\Big(\text{d}^n f(x)\Big) (h) = f^\prime (x)\ h\) ad ogni \(h\in \mathbb{R}\).
Il differenziale secondo cos'è?
E quello terzo?
$d^2 f(x)=\sum_{i,j} \partial_i \partial_j f(x) h_i h_j= d(d(f(x))$
in generale, faccio il differenziale del differenziale del differenziale...n volte
in generale, faccio il differenziale del differenziale del differenziale...n volte
$\partial Up$
Ok... Allora hai ben chiaro che il differenziale \(n\)-esimo di una funzione è una forma \(n\)-lineare che opera su \(\mathbb{R}^N\) (qui \(N\) è il numero di variabili da cui \(f\) dipende). 
Ora, si può dimostrare che vale per il differenziale una sorta di sviluppo di Newton, in quanto il differenziale \(n\)-esimo è la forma \(n\)-lineare che opera come segue:
\[
\Big(\text{d}^n f(x)\Big) (h) := \sum_{\alpha:\ |\alpha|= n} \binom{n}{\alpha}\ \frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial x^\alpha}(x)\ h^\alpha\; ,
\]
ove \(\alpha =(\alpha_1,\ldots ,\alpha_N)\) è un multiindice, \(|\alpha| = \alpha_1+\cdots +\alpha_N\) e:
\[
\binom{n}{\alpha} := \frac{n!}{\alpha_1!\cdots \alpha_N!},\qquad \frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial x^\alpha}(x) := \frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots \partial x_N^{\alpha_N}}(x),\qquad h^\alpha := h_1^{\alpha_1}\cdots h_N^{\alpha_N}\; .
\]
In generale, per ottenere questo sviluppo basta ricordare che il differenziale \(n\)-esimo di \(f\) calcolato in \(x\) lungo l'incremento \(h\) è (a meno di un coefficiente moltiplicativo) lo \(n\)-esimo termine della formula di Taylor relativa alla funzione:
\[
\phi (t):= f(x+t\ h)
\]
centrata nel punto \(t=0\), i.e. si ha:
\[
\phi (t) = \underbrace{f(x)}_{=\phi (0)} + \underbrace{\Big(\text{d} f(x)\Big)(h)}_{=\phi^\prime (0)}\ t+ \frac{1}{2!}\ \underbrace{\Big(\text{d}^2 f(x)\Big)(h)}_{=\phi^{\prime \prime} (0)}\ t^2 + \frac{1}{3!}\ \underbrace{\Big(\text{d}^3 f(x)\Big) (h)}_{=\phi^{\prime \prime \prime} (0)}\ t^3+\cdots + \underbrace{\Big(\text{d}^n f(x)\Big) (h)}_{=\phi^{(n)} (0)}\ t^n + \text{o}(t^n)\; .
\]
Ora, si può dimostrare che vale per il differenziale una sorta di sviluppo di Newton, in quanto il differenziale \(n\)-esimo è la forma \(n\)-lineare che opera come segue:
\[
\Big(\text{d}^n f(x)\Big) (h) := \sum_{\alpha:\ |\alpha|= n} \binom{n}{\alpha}\ \frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial x^\alpha}(x)\ h^\alpha\; ,
\]
ove \(\alpha =(\alpha_1,\ldots ,\alpha_N)\) è un multiindice, \(|\alpha| = \alpha_1+\cdots +\alpha_N\) e:
\[
\binom{n}{\alpha} := \frac{n!}{\alpha_1!\cdots \alpha_N!},\qquad \frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial x^\alpha}(x) := \frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots \partial x_N^{\alpha_N}}(x),\qquad h^\alpha := h_1^{\alpha_1}\cdots h_N^{\alpha_N}\; .
\]
In generale, per ottenere questo sviluppo basta ricordare che il differenziale \(n\)-esimo di \(f\) calcolato in \(x\) lungo l'incremento \(h\) è (a meno di un coefficiente moltiplicativo) lo \(n\)-esimo termine della formula di Taylor relativa alla funzione:
\[
\phi (t):= f(x+t\ h)
\]
centrata nel punto \(t=0\), i.e. si ha:
\[
\phi (t) = \underbrace{f(x)}_{=\phi (0)} + \underbrace{\Big(\text{d} f(x)\Big)(h)}_{=\phi^\prime (0)}\ t+ \frac{1}{2!}\ \underbrace{\Big(\text{d}^2 f(x)\Big)(h)}_{=\phi^{\prime \prime} (0)}\ t^2 + \frac{1}{3!}\ \underbrace{\Big(\text{d}^3 f(x)\Big) (h)}_{=\phi^{\prime \prime \prime} (0)}\ t^3+\cdots + \underbrace{\Big(\text{d}^n f(x)\Big) (h)}_{=\phi^{(n)} (0)}\ t^n + \text{o}(t^n)\; .
\]
Non lanciarmi matematici anatemi ma...alla formula di Taylor il mio libro arriva dopo, quindi per evitare serpenti che si mordono la coda mi piacerebbe avere una dimostrazione indipendente dalla stessa.
Per esempio in quella che che stavo cominciando io, cosa c'è di sbagliato?
Per esempio in quella che che stavo cominciando io, cosa c'è di sbagliato?
Mah... sinceramente, mi pare un po' azzardato parlare di differenziali di ordine superiore senza aver accenato allo sviluppo di Taylor della funzione composta.
Però, nota che lo sviluppo che ti ho segnalato è relativo ad una funzione di una sola variabile, quindi potresti certamente usarlo (lo conosci da Analisi I, in fondo).
Ad ogni modo, ho delle difficoltà... Ciò che vuoi fare, sotto sotto, è provare che vale quella specie di sviluppo binomiale che ho scritto nel post precedente: infatti l'uguaglianza \(\Big(\text{d}^n f(x)\Big)(h) = \left( \Big(\text{d} f(x)\Big)(h)\right)^n\) si concretizza in quello sviluppo lì.
Ora, mi chiedi di non arrivarci con uno sviluppo di Taylor di una funzione composta, e ci posso anche stare; tuttavia non mi hai detto in maniera precisa qual è, per te, la definizione della forma \(n\)-lineare \(\Big(\text{d}^n f(x)\Big)(h)\).
In questo contesto, la \(x\) è da pensarsi fissata: infatti il differenziale è una funzione che opera sull'incremento \(h\); quindi derivare rispetto a \(x\) non ha senso.
In altri termini, la definizione ricorsiva:
\[
\Big(\text{d}^n f(x)\Big)(h) = \text{d}\left( \Big(\text{d}^{n-1} f(x)\Big)(h)\right)
\]
che mi stai proponendo di usare non ha alcun significato, perché la variabile nel secondo membro è \(h\) e non \(x\) (quindi si dovrebbe derivare rispetto alle \(h_j\) e non rispetto alle \(x_j\)).
Quindi...?
Però, nota che lo sviluppo che ti ho segnalato è relativo ad una funzione di una sola variabile, quindi potresti certamente usarlo (lo conosci da Analisi I, in fondo).
Ad ogni modo, ho delle difficoltà... Ciò che vuoi fare, sotto sotto, è provare che vale quella specie di sviluppo binomiale che ho scritto nel post precedente: infatti l'uguaglianza \(\Big(\text{d}^n f(x)\Big)(h) = \left( \Big(\text{d} f(x)\Big)(h)\right)^n\) si concretizza in quello sviluppo lì.
Ora, mi chiedi di non arrivarci con uno sviluppo di Taylor di una funzione composta, e ci posso anche stare; tuttavia non mi hai detto in maniera precisa qual è, per te, la definizione della forma \(n\)-lineare \(\Big(\text{d}^n f(x)\Big)(h)\).
In questo contesto, la \(x\) è da pensarsi fissata: infatti il differenziale è una funzione che opera sull'incremento \(h\); quindi derivare rispetto a \(x\) non ha senso.
In altri termini, la definizione ricorsiva:
\[
\Big(\text{d}^n f(x)\Big)(h) = \text{d}\left( \Big(\text{d}^{n-1} f(x)\Big)(h)\right)
\]
che mi stai proponendo di usare non ha alcun significato, perché la variabile nel secondo membro è \(h\) e non \(x\) (quindi si dovrebbe derivare rispetto alle \(h_j\) e non rispetto alle \(x_j\)).
Quindi...?
quanto mi piace il rigore...!
Allora, il Pagani Salsa volume 1 cap. 7 "Calcolo differenziale in più variabili" mi fa osservare che il differenziale secondo, definito come
$d^2 f(x)=\sum_{i,j=1}^2 \partial_i\partial_j f(x) dx_i dx_j$
si può scrivere come
$d^2 f(x) = (\partial_i f(x) dx_i+\partial_j f(x) dx_j)^2$
e ciò è evidente anche usando Schwartz.
Poi mi dice che la formula è generalizzata per un differenziale ennesimo in quello sviluppo binomiale che hai scritto, ma non ne dà una dimostrazione rigorosa...dimostrarlo per ogni n per me è sinonimo di induzione, per questo ho tentato quella via...
poi "a occhio" è ovvio che in quella somma generalizzata da 1 a n compaiono tutte le combinazioni di polinomi di grado n...unito a schwarz ciò dovrebbe in qualche modo fornire anche i coefficienti della binomiale, magari con qualche ragionamento combinatorio...questa via va già meglio?
Allora, il Pagani Salsa volume 1 cap. 7 "Calcolo differenziale in più variabili" mi fa osservare che il differenziale secondo, definito come
$d^2 f(x)=\sum_{i,j=1}^2 \partial_i\partial_j f(x) dx_i dx_j$
si può scrivere come
$d^2 f(x) = (\partial_i f(x) dx_i+\partial_j f(x) dx_j)^2$
e ciò è evidente anche usando Schwartz.
Poi mi dice che la formula è generalizzata per un differenziale ennesimo in quello sviluppo binomiale che hai scritto, ma non ne dà una dimostrazione rigorosa...dimostrarlo per ogni n per me è sinonimo di induzione, per questo ho tentato quella via...
poi "a occhio" è ovvio che in quella somma generalizzata da 1 a n compaiono tutte le combinazioni di polinomi di grado n...unito a schwarz ciò dovrebbe in qualche modo fornire anche i coefficienti della binomiale, magari con qualche ragionamento combinatorio...questa via va già meglio?
Ah... Ecco.
E da dove tira fuori quell'espressione per il differenziale secondo?
E da dove tira fuori quell'espressione per il differenziale secondo?
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